1，基礎數學的知識和應用是個人和群體生活中不可缺少的壹部分。其基本概念的提煉可見於古埃及、美索不達米亞和古印度的古代數學文獻。從那以後，它的發展繼續取得小的進展。但當時的代數和幾何在很長壹段時間內還處於獨立狀態。
2.數學應用於許多不同的領域，包括科學、工程、醫學和經濟學。數學在這些領域的應用壹般被稱為應用數學，有時會激起新的數學發現，促進新的數學學科的發展。數學家也是研究純數學，也就是數學本身，不以任何實際應用為目的。雖然很多工作都是從純數學的研究開始的，但是後來可能會找到合適的應用。
3.數理邏輯的早期定義是本傑明·皮爾士的《得出必然結論的科學》(1870)。
在《數學原理》中，伯特蘭·羅素和阿爾弗雷德·諾斯·懷特海提出了壹個名為邏輯主義的哲學綱領，試圖證明所有的數學概念、陳述和原理都可以用符號邏輯來定義和證明。數學的邏輯定義是羅素的“壹切數學都是符號邏輯”。
4.數理邏輯著重於把數學放在壹個堅實的公理框架上，研究這個框架的結果。就它而言，它是哥德爾第二不完全定理的起源，這也許是邏輯學中流傳最廣的成果。現代邏輯分為遞歸論、模型論和證明論，與理論計算機科學密切相關。
5.數學語言對初學者來說也很難。如何讓這些詞有比日常語言更精確的含義也困擾著初學者。比如“開”和“域”這兩個詞在數學中就有特殊的含義。
數學術語還包括胚胎、可積性等專有名詞。但是使用這些特殊的符號和術語是有原因的:數學比日常語言更需要準確性。數學家將這種對語言和邏輯準確性的要求稱為“嚴謹”。