在圖1中，D ABC是壹個直角三角形，其中？a是直角。我們分別在ab，BC，AC邊上畫三個方塊ABfg，BCED，ACKH。通過點A畫壹條直線AL使其垂直於DE，與L相交，與m相交BC，不難證明D FBC全等於D ABD(S.A.S)。所以正方形的面積ABFG = 2？FBC的面積= 2？dabad的面積=矩形BMLD的面積。同理，正方形ACKH的面積=長方形MCEL的面積。即BCED平方的面積ABFG平方的面積ACKH平方的面積，即AB2+AC2 = BC2。這證明了勾股定理。
這個證明巧妙地利用了全等三角形和三角形面積與矩形面積的關系。不僅如此，它更具體地解釋了“兩直角邊的平方和”的幾何意義，就是用ML把正方形分成BMLD和MCEL兩部分！
這個證明的另壹個重要意義在於它的起源。這個證明出自古希臘大數學歐幾裏得之手。
歐幾裏得生於公元前325年，卒於公元前265年。他曾在古希臘的文化中心亞歷山大工作，完成了他的著作《幾何原本》。《幾何原本》是壹部劃時代的著作，它集歷代數學知識於壹身，運用公理化方法建立演繹體系，對後世數學的發展產生了深遠的影響。書的第壹卷，命題47，記載了勾股定理的上述證明。
證據2
圖二
在圖2中，我們將四個大小相同的直角三角形放在壹個大正方形中，註意大正方形中間的淺黃色部分也是正方形。設直角三角形斜邊的長度為C，另外兩條邊的長度為A和B，那麽既然壹個大正方形的面積應該等於四個直角三角形和中間那個淺黃色正方形的面積之和，那麽我們就有了
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
擴展a2+2ab+b2 = 2ab+c2
簡化為a2+b2 = c2
由此，我們知道勾股定理成立。
證明2可以認為是壹個非常直白的證明。最有趣的是，如果我們翻轉圖中的直角三角形，拼成下圖3，仍然可以用類似的方法證明勾股定理如下:
圖3
面積計算可得C2 = 4(1/2 ab)+(b-a)2。
擴展= 2ab+b2-2ab+a2
簡化的c2 = a2+b2(定理證明)
圖3的另壹個重要意義是，這個證明最早是壹個中國人提出來的！據記載，這是三國時期(即公元3世紀左右)吳國的趙爽。趙爽在註釋《每周並行計算》經典時，加了壹個他稱之為“畢達哥拉斯方圖”(或“弦圖”)的插圖，就是上面圖3中的圖。
證據3
圖4
圖41 * *畫兩個綠色全等直角三角形和壹個淺黃色等腰直角三角形。不難看出，整個畫面變成了壹個梯形。使用梯形面積公式，我們得到:
1/2(a+b)(b+a)= 2(1/2 ab)+1/2 C2
展開後的1/2 a2+a b+1/2 B2 = a b+1/2 C2。
簡化a2+b2 = c2(定理證明)
有壹些書是贊美三十分證明的，因為這個證明是壹個美國總統寫的！
在1881，加菲爾德(詹姆斯·a·加菲爾德；；1831-1881)當選美國第20任總統。不幸的是，他在當選五個月後遇刺身亡。至於勾股定理的證明，是他在1876中提出的。
個人認為證明3沒有任何優勢。它實際上和證明2是壹樣的，除了它把證明2中的數字切了壹半！更何況我並不認為梯形面積公式比正方形面積公式簡單！
另外，如果從壹個老師的角度來說，證明II和證明III都有同樣的缺點，就要達到恒等式(A B) 2 = A2 2AB+B2。雖然這壹身份普遍包含在高二的課程中，但許多學生未能完全掌握。因為上面兩個證明用到了，所以在教學中，學生往往理解不了，跟不上。
證據4
(a) (b) (c)
圖5
證明4是這樣做的:如圖5 (a)所示，我們先畫壹個直角三角形，然後在最短直角邊旁邊的三角形邊上加壹個正方形，為清晰起見用紅色表示。在另壹個直角邊下再加壹個正方形，用藍色表示。接下來，用斜邊的長度畫壹個正方形，如圖5 (b)所示。我們打算證明紅色和藍色兩個正方形的面積之和正好等於畫在斜邊上的正方形的面積。
註意，在圖5 (b)中，添加斜邊正方形時，紅色和藍色的某些部分超出了斜邊正方形的範圍。現在我將分別用黃色、紫色和綠色顯示超出範圍的部分。同時，在斜邊正方形中，還有壹些沒有填充顏色的部分。現在，根據圖5 (c)中的方法，將超出範圍的三角形移動到未填充的區域。我們發現超出範圍的部分正好填補了未填補的地方！由此，我們發現圖5 (a)中紅色和藍色的面積之和必定等於圖5 (c)中斜邊正方形的面積。由此，我們證實了勾股定理。
這個證明是三國時期魏國數學家劉徽提出的。魏景元四年(公元263年)，劉徽註釋了古書《九章算術》。在註釋中，他畫了壹個類似於圖5 (b)的圖來證明勾股定理。因為他用“綠出”和“朱出”來表示黃、紫、綠三部分，用“綠入”和“朱入”來說明如何填充斜邊正方形的空白部分，後來數學家把這種圖叫做“綠入出”。也有人用“互補”這個詞來表達這個證明的原理。
在歷史上，劉徽並不是唯壹壹個用“互補進出”原理證明勾股定理的人。比如在印度，在阿拉伯世界，甚至在歐洲，都出現過類似的證明，但是他們畫出來的圖可能和劉輝的在外觀上有些不同。下面的圖6是圖5 (b)和圖5 (c)的組合。註意，我已經在三角形外面重新畫了壹個小正方形。請看圖6。我們見過類似的圖形嗎？
圖6
其實圖6不就是圖1嗎？它只是從另壹個角度畫了圖1。當然，分方的方法不同。
對了，之前的證明和證明四有明顯的區別。證明四中沒有計算的部分，整個證明只是移動幾個數字得到的。我不知道妳是否接受這些沒有任何計算步驟的“證明”，但是我自己很喜歡這些“無字證明”。
圖7
在眾多種類的“無字證明”中，我最喜歡兩個。圖7就是其中之壹。方法是分壹條垂直線和壹條水平線，把直角較大的正方形分成4個點。然後根據圖7中的顏色，將兩個直角正方形填入斜邊正方形，定理的證明就可以完成了。
其實類似的“謎題”所做的證明還有很多，這裏無意壹壹記錄。
另壹種“無字證明”可以算是最巧妙簡單的，方法如下:
證據五
(a) (b)
圖八
圖8 (a)和圖2壹樣，四個直角三角形放在壹個大正方形裏。註意，圖中淺黃色部分的面積等於c2。現在我們把圖8 (a)中的四個直角三角形移到圖8 (b)中。顯然，圖8 (b)中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是a2+b2。但由於(a)和(b)中的大正方形相同，四個直角三角形相等，那麽剩下的兩個淺黃色部分的面積也應該相等，所以我們得到a2+b2 = c2，證明了勾股定理。
關於這個證明的由來，有很多種說法:有人說來自中國的壹本古代數學書；有人認為畢達哥拉斯當年做了這個證明，所以他宰殺了壹百頭牛來慶祝。總之，我認為這是眾多證明中最簡單快捷的證明。
不要小看這個證明，它其實包含了另壹層含義，不容易被大家感知。我現在將上面兩張圖片“擠壓”成圖9:
(a) (b)
圖9
圖9 (a)中間的淡黃色部分是壹個平行四邊形，其面積可由下式求得:mn sin(a+b)其中m和n分別是兩個直角三角形的斜邊長度。圖9 (b)中的淺黃色部分是兩個矩形，它們的面積之和是:(m cos a)(n sin b)+(m sin a)(n cos b)。就像上面壹樣，(a)和(b)的淡黃色面積相等，所以把兩個公式結合起來，消去* * * *的倍數，我們得到:sin(a+b) = sin a cos b+sin b cos a，這是三角學中最重要的復角公式！原來勾股定理和這個復角公式出自同壹個證明！
在第二個證明中，在介紹了展開(a+b)2的方法後，我提出了趙爽的“弦圖”，這是展開(a-b)2的壹種方法。證明5也有類似的情況。這裏我們有壹個類似於(a+b)的“無字證明”，也有壹個類似於(a-b)的“無字證明”。這個方法是由印度數學家巴斯卡拉發展出來的；1114-1185)，如圖10。
(a) (b)
圖十
證據六
圖Xi
在圖11中，我們用CD把中間的直角三角形ABC分成兩部分，其中？c是直角，D在AB之上，CD在AB之上。設a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。註意，圖中的三個三角形彼此都差不多，D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以
=和=
因此得到a2 = cx，b2 = cy。
把兩個公式結合起來，我們得到a2+b2 = cx+cy = c(x+y) = c2。定理證明。
證明六可以說是非常特殊的，因為它是本文中唯壹沒有使用面積概念的證明。我相信在壹些老教材中，證明六也曾作為勾股定理的證明。但是由於這個證明需要相似三角形的概念，而且兩個三角形還要翻來覆去，相當復雜，所以在今天的教材中已經很少使用了，似乎已經逐漸被人們遺忘了！
但是，仔細想想，妳會發現這個證明其實和證明1(歐幾裏德的證明)沒什麽區別！雖然這個證明沒有提到面積，但是a2 = cx實際上是指BC上的正方形的面積等於AB和BD形成的矩形的面積，也就是圖1中黃色的部分。同樣，b2 = cy是圖1中的深綠色部分。從這個角度來說，兩個證明是基於同壹個原理！
證據七
(a) (b) (c)
圖十二
在圖12 (a)中，我們暫時不知道三個正方形的面積之間的直接關系，但由於兩個相似圖形的面積之比等於其對應邊的比的平方，且任意壹個正方形都是相似的，所以我們知道面積I:面積II:面積III = a2: b2: c2。
但仔細想想就會發現，上述推論中“方”的要求是多余的。其實只要是相似的圖形，比如圖12 (b)中的半圓或者圖12 (c)中的奇形，只要它們彼此相似，那麽面積I:面積II:面積III就等於a2: b2: c2！
在眾多的相似圖形中，最有用的是與原三角形相似的直角三角形。