勾股定理是壹個基本幾何定理，是人類早期發現並證明的重要數學定理之壹，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之壹，也是數形結合的紐帶之壹。勾股定理是余弦定理的壹個特例。
世界上幾個文明古國如古巴比倫、古埃及都先後研究過這條定理。我國是最早了解勾股定理的國家之壹，被稱為“商高定理”。
成書於公元前1世紀的我國最古老的天文學著作《周髀算經》中，記載了周武王的大臣周公詢問皇家數學家商高的話，其中就有勾股定理的內容。
這段話的內容是，周公問：“我聽說妳對數學非常精通，我想請教壹下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去壹段壹段丈量，那麽關於天的高度和地面的壹些測量的數據是怎麽樣得到的呢？”
商高說：“數的產生來源於對圓和方這些圖形的認識。其中有壹條原理：當直角三角形‘矩’得到的壹條直角邊‘勾’等於3，另壹條直角邊‘股’等於4的時候，那麽，它的斜邊‘弦’就必定是5。”
這段對話，是我國古籍中“勾三、股四、弦五”的最早記載。
用現在的數學語言來表述就是：在任何壹個不等腰的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等於斜邊長度的平方。也可以理解成兩個長邊的平方之差與最短邊的平方相等。
基於上述淵源，我國學者壹般把此定理叫作“勾股定理”或“商高定理”。
商高沒有解答勾股定理的具體內容，不過周公的後人陳子曾經運用他所理解的太陽和大地知識，運用勾股定理測日影，以確定太陽的高度。這是我國古代人民利用勾股定理在科學上進行的實踐。
周公的後人陳子也成了壹個數學家，是他詳細地講述了測量太陽高度的全套方案。這位陳子是當時的數學權威，《周髀算經》這本書，除了最前面壹節提到商高以外，剩下的部分說的都是陳子的事。
據《周髀算經》說，陳子等人的確以勾股定理為工具，求得了太陽與鎬京之間的距離。為了達到這個目的，他還用了其他壹系列的測量方法。
陳子用壹只長8尺，直徑0.1尺的空心竹筒來觀察太陽，讓太陽恰好裝滿竹筒的圓孔，這時候太陽的直徑與它到觀察者之間距離的比例正好是竹筒直徑和長度的比例，即1比80。
經過諸如此類的測量和計算，陳子和他的科研小組測得日下60000裏，日高80000裏，根據勾股定理，求得斜至日整10萬裏。這個答案現在看來當然是錯的。但在當時，陳子對他的方案充分信心。他進壹步闡述這個方案：
在夏至或者冬至這壹天的正午，立壹根8尺高的竿來測量日影，根據實測，正南1000裏的地方，日影1.5尺，正北1000裏的地方，日影1.7尺。這是實測，下面就是推理了。
越往北去，日影會越來越長，總有壹個地方，日影的長會正好是6尺，這樣，測竿高8尺，日影長6尺，日影的端點到測竿的端點，正好是10尺，是壹個完美的“勾三股四弦五”的直角三角形。
這時候的太陽和地面，正好是這個直角三角形放大若幹倍的相似形，而根據剛才實測數據來說，南北移動1000裏，日影的長短變化是>0.1尺，那由此往南60000裏，測得的日影就該是零。也就是說從這個測點到“日下”，太陽的正下方，正好是60000裏，於是推得日高80000裏，斜至日整10萬裏。接下來，陳子又講天有多高地有多大，太陽壹天行幾度，在他那兒都有答案。
陳子根本沒有想到這壹切都是錯的。他要是知道他腳下大得沒邊的大地，只不過是壹個小小的寰球，體積是太陽的壹百三十萬分之壹，就像飄在空中的壹粒塵土，真不知道他會是什麽表情。
書的最後陳子說：壹年有365天4分日之壹，有12月19分月之7，壹月有29天940分日之499。這個認識，有零有整，而且基本上是對的。現在大家都知道壹年有365天，好像不算是什麽學問，但在那個時代，陳子的學問不是那麽簡單的，雖然他不是全對。
勾股定理的應用，在我國戰國時期另壹部古籍《路史後記十二註》中也有記載：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水註入海中，不再有大水漫溢的災害，也是應用勾股定理的結果。
勾股定理在幾何學中的應用非常廣泛，較早的案例有《九章算術》中的壹題：有壹個正方形的池塘，池塘的邊長為1丈，有壹棵蘆葦生長在池塘的正中央，並且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，問水深和蘆葦的高度各多少？
這是壹道很古老的問題，《九章算術》給出的答案是“12尺”、“13尺”。這是用勾股定理算出的結果。
漢代的數學家趙君卿，在註《周髀算經》時，附了壹個圖來證明“商高定理”。這個證明是400多種“商高定理”的證明中最簡單和最巧妙的。外國人用同樣的方法來證明的，最早是印度數學家巴斯卡拉?阿查雅，那是1150年的時候，可是比趙君卿還晚了1000年。
東漢初年，根據西漢和西漢時期以前數學知識積累而編纂的壹部數學著作《九章算術》裏面，有壹章就是講“商高定理”在生產事業上的應用。
直至清代才有華蘅芳、李銳、項名達、梅文鼎等創立了這個定理的幾種巧妙的證明。
勾股定理是人們認識宇宙中形的規律的起點，在東西方文明起源過程中，有著很多動人的故事。
我國古代數學著作《九章算術》的第九章即為勾股術，並且整體上呈現出明確的算法和應用性特點，表明已懂得利用壹些特殊的直角三角形來切割方形的石塊，從事建築廟宇、城墻等。