勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。是壹個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的壹個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，作為壹個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。
在壹個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麽a的平方＋b的平方＝c的平方，即α*α+b*b=c*c
推廣：把指數改為n時，等號變為小於號
當三角形為鈍角時，那麽a的平方+b的平方〈c的平方，即a*a+b*b〈c*c
當三角形為銳角時，那麽a的平方+b的平方〉c的平方，即a*a+b*b〉c*c
據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年
勾股數：是指能組成a^+b^=c^的三個正整數稱為勾股數.
實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這壹定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這壹傳說引起過許多數學史家的懷疑。比如說，美國的數學史家M?克萊因教授曾經指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們用13個等距的結把壹根繩子分成等長的12段，壹個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實。”不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據專家們考證，其中壹塊上面刻有如下問題：“壹根長度為 30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”這是壹個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另壹塊泥板上面刻著壹個奇特的數表，表中***刻有四列十五行數字，這是壹個勾股數表：最右邊壹列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，壹***記載著15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。
勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過壹本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（※關於勾股定理的詳細證明，由於證明過程較為繁雜，不予收錄。）
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾裏得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的壹個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。
從上面這壹定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。
如此等等
1876年壹個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有壹位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州***和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的壹個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麽，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麽。只見壹個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著壹個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麽？那個小男孩頭也不擡地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麽斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊長分別為5和7，那麽這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方壹定等於5的平方加上7的平方。”小男孩又說：“先生，妳能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德壹時語塞，無法解釋了，心裏很不是滋味。
於是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
如下:
解：勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理成為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c^2= a^2+b^2=9+16=25
則說明斜邊為5。
3、已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四邊形ABCD的面積。
美國總統的證明方法圖
各具特色的證明方法三角學裏有壹個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經》提到，商高說過"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。
最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這裏B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經》中的“弦圖”。
下圖是H．珀裏加爾（Perigal）在1873年給出的證明，它是壹種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的，因為這種劃分方法，labitibn Qorra（826～901）已經知道。（如：右圖）下面的壹種證法，是H?E?杜登尼（Dudeney）在1917年給出的。用的也是壹種相加全等的證法。
如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法，據說是L?達?芬奇（da Vinci, 1452～1519）設計的，用的是相減全等的證明法。
歐幾裏得（Euclid）在他的《原本》第壹卷的命題47中，給出了勾股定理的壹個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由於圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家兼天文學家婆什迦羅（Bhaskara，活躍於1150年前後）對勾股定理給出壹種奇妙的證明，也是壹種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；壹部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在壹起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，
婆什迦羅還給出了下圖的壹種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明，在十七世紀又由英國數學家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G?華盛頓曾經是壹個著名的測量員。T?傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A．林肯是通過研究歐幾裏得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是眾議院議員，五年後當選為美國總統）給出了勾股定理壹個漂亮的證明，曾發表於《新英格蘭教育雜誌》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD，交AB於L，連接BC，CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成壹個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內部有壹個內接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD，作DH⊥CF於H，則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
壹方面，
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面，
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎完成壹個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）。可以證明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF於H，則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面，
S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出論證
都是用面積來進行驗證：壹個大的面積等於幾個小面積的和。利用同壹個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是數學上證明方法最多的定理之壹——有四百多種證法！但有記載的第壹個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的壹種證法，屬於古希臘數學家歐幾裏得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》裏。在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了壹幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。於是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡後便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統壹、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了壹個典範。 以下網址為趙爽的“勾股圓方圖”：/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以後的數學家大多繼承了這壹風格並且有發展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後壹點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的“青朱出入圖”：/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
勾股定理的應用非常廣泛。我國戰國時期另壹部古籍《路史後記十二註》中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使註東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水註入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。
勾股定理在我們生活中有很大範圍的運用.