作者：梁子傑
勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在壹個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。」據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！又據記載，現時世上壹***有超過 300 個對這定理的證明！
我覺得，證明多，固然是表示這個定理十分重要，因而有很多人對它作出研究；但證明多，同時令人眼花繚亂，亦未能夠壹針見血地反映出定理本身和證明中的數學意義。故此，我在這篇文章中，為大家選出了 7 個我認為重要的證明，和大家壹起分析和欣賞這些證明的特色，與及認識它們的歷史背境。
證明壹
圖壹
在圖壹中，D ABC 為壹直角三角形，其中 ? A 為直角。我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過 A 點畫壹直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ? D FBC 的面積 = 2 ? D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此證實了勾股定理。
這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！
這個證明的另壹個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數學歐幾裏得之手。
歐幾裏得（Euclid of Alexandria）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，並完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是壹部劃時代的著作，它收集了過去人類對數學的知識，並利用公理法建立起演繹體系，對後世數學發展產生深遠的影響。而書中的第壹卷命題 47，就記載著以上的壹個對勾股定理的證明。
證明二
圖二
圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在壹個大正方形之內，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是壹個正方形。設直角三角形的斜邊長度為 c，其余兩邊的長度為 a 和 b，則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡得 a2 + b2 = c2
由此得知勾股定理成立。
證明二可以算是壹個非常直接了當的證明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：
圖三
由面積計算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展開得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化簡得 c2 = a2 + b2（定理得證）
圖三的另壹個重要意義是，這證明最先是由壹個中國人提出的！據記載，這是出自三國時代（即約公元 3 世紀的時候）吳國的趙爽。趙爽為《周髀算經》作註釋時，在書中加入了壹幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。
證明三
圖四
圖四壹***畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和壹個淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個圖就變成壹個梯形。利用梯形面積公式，我們得到∶
1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展開得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化簡得 a2 + b2 = c2（定理得證）
有壹些書本對證明三十分推祟，這是由於這個證明是出自壹位美國總統之手！
在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）當選成為美國第 20 任總統，可惜在當選後 5 個月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關證明，是他在 1876 年提出的。
我個人覺得證明三並沒有甚麼優勝之處，它其實和證明二壹樣，只不過它將證明二中的圖形切開壹半罷了！更何況，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡單！
又，如果從壹個老師的角度來看，證明二和證明三都有壹個***同的缺點，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。雖然這個恒等式壹般都包括在中二的課程之中，但有很多學生都未能完全掌握，由於以上兩個證明都使用了它，往往在教學上會出現學生不明白和跟不上等問題。
證明四
(a) (b) (c)
圖五
證明四是這樣做的：如圖五(a)，我們先畫壹個直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那壹邊加上壹個正方形，為了清楚起見，以紅色表示。又在另壹條直角邊下面加上另壹個正方形，以藍色表示。接著，以斜邊的長度畫壹個正方形，如圖五(b)。我們打算證明紅色和藍色兩個正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。
留意在圖五(b)中，當加入斜邊的正方形後，紅色和藍色有部分的地方超出了斜邊正方形的範圍。現在我將超出範圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。同時，在斜邊正方形內，卻有壹些部分未曾填上顏色。現在依照圖五(c)的方法，將超出範圍的三角形，移入未有填色的地方。我們發現，超出範圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！由此我們發現，圖五(a)中，紅色和藍色兩部分面積之和，必定等於圖五(c)中斜邊正方形的面積。由此，我們就證實了勾股定理。
這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），劉徽為古籍《九章算術》作註釋。在註釋中，他畫了壹幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補」這壹詞來表示這個證明的原理。
在歷史上，以「出入相補」的原理證明勾股定理的，不只劉徽壹人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲，都有出現過類似的證明，只不過他們所繪的圖，在外表上，或許會和劉徽的圖有些少分別。下面的圖六，就是將圖五(b)和圖五(c)兩圖結合出來的。留意我經已將小正方形重新畫在三角形的外面。看壹看圖六，我們曾經見過類似的圖形嗎？
圖六
其實圖六不就是圖壹嗎？它只不過是將圖壹從另壹個角度畫出罷了。當然，當中分割正方形的方法就有所不同。
順帶壹提，證明四比之前的證明有壹個很明顯的分別，證明四沒有計算的部分，整個證明就是單靠移動幾塊圖形而得出。我不知道大家是否接受這些沒有任何計算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜歡這些「無字證明」了。
圖七
在多種「無字證明」中，我最喜歡的有兩個。圖七是其中之壹。做法是將壹條垂直線和壹條水平線，將較大直角邊的正方形分成 4 分。之後依照圖七中的顏色，將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。
事實上，以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多，但在這裏就未有打算將它們壹壹盡錄了。
另壹個「無字證明」，可以算是最巧妙和最簡單的，方法如下：
證明五
(a) (b)
圖八
圖八(a)和圖二壹樣，都是在壹個大正方形中，放置了4個直角三角形。留意圖中淺黃色部分的面積等於 c2。現在我們將圖八(a)中的 4 個直角三角形移位，成為圖八(b)。明顯，圖八(b)中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是 a2 + b2。但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變，4 個直角三角形亦相等，所以余下兩個淺黃色部的面積亦應該相等，因此我們就得到 a2 + b2 = c2，亦即是證明了勾股定理。
對於這個證明的出處，有很多說法：有人說是出自中國古代的數學書；有人相信當年畢達哥拉斯就是做出了這個證明，因而宰殺了壹百頭牛來慶祝。總之，我覺得這是眾多證明之中，最簡單和最快的壹個證明了。
不要看輕這個證明，它其實包含著另壹個意義，並不是每壹個人都容易察覺的。我現在將上面兩個圖「壓扁」，成為圖九：
(a) (b)
圖九
圖九(a)中間的淺黃色部分是壹個平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分別是兩個直角三角形斜邊的長度。而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個長方形，其面積之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面壹樣，(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結合並消去***有的倍數，我們得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，這就是三角學中最重要的復角公式！原來勾股定理和這條復角公式是來自相同的證明的！
在證明二中，當介紹完展開 (a + b)2 的方法之後，我提出了趙爽的「弦圖」，這是壹個展開 (a - b)2 的方法。而證明五亦有壹個相似的情況，在這裏，我們除了壹個類似 (a + b) 的「無字證明」外，我們亦有壹個類似 (a - b) 的「無字證明」。這方法是由印度數學家婆什迦羅（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，見圖十。
(a) (b)
圖十
證明六
圖十壹
圖十壹中， 我們將中間的直角三角形 ABC 以 CD 分成兩部分，其中 ? C 為直角，D 位於 AB 之上並且 CD ^ AB。設 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意圖中的三個三角形都是互相相似的，並且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以
= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy
將兩式結合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得證。
證明六可以說是很特別的，因為它是本文所有證明中，唯壹壹個證明沒有使用到面積的概念。我相信在壹些舊版的教科書中，也曾使用過證明六作為勾股定理的證明。不過由於這個證明需要相似三角形的概念，而且又要將兩個三角形翻來覆去，相當復雜，到今天已很少教科書采用，似乎已被人們日漸淡忘了！
可是，如果大家細心地想想，又會發現這個證明其實和證明壹（即歐幾裏得的證明）沒有分別！雖然這個證明沒有提及面積，但 a2 = cx 其實就是表示 BC 上正方形的面積等於由 AB 和 BD 兩邊所組成的長方形的面積，這亦即是圖壹中黃色的部分。類似地，b2 = cy 亦即是圖壹中深綠色的部分。由此看來，兩個證明都是依據相同的原理做出來的！
證明七
(a) (b) (c)
圖十二
在圖十二(a)中，我們暫時未知道三個正方形面積之間有甚麼直接的關系，但由於兩個相似圖形面積之比等於它們對應邊之比的平方，而任何正方形都相似，所以我們知道面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2。
不過，細心地想想就會發現，上面的推論中，「正方形」的要求是多余的，其實只要是壹個相似的圖形，例如圖十二(b)中的半圓，或者是圖十二(c)中的古怪形狀，只要它們互相相似，那麼面積 I : 面積 II : 面積 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！
在蕓蕓眾多的相似圖形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。
(a) (b)
圖十三
在圖十三(a)中，我在中間的直角三角形三邊上分別畫上三個和中間三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其實和原本三角形壹樣大，所以面積亦相等；如果我們從三角形直角的頂點引壹條垂直線至斜邊，將中間的三角形分成兩分，那麼我們會發現圖十三(a)的面積 I 剛好等於中間三角形左邊的面積，而面積 II 亦剛好等於右邊的面積。由圖十三(b)可以知道：面積 I + 面積 II = 面積 III。與此同時，由於面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2，所以 a2 + b2 = c2。
七個證明之中，我認為這壹個的布局最為巧妙，所用的數學技巧亦精彩。可惜對壹個初中學生而言，這個證明就比較難掌握了。
我不太清楚這個證明的出處。我第壹次認識這個證明，是在大學時候，壹位同學從圖書館看到這個證明後告訴我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然記憶猶新。
歐幾裏得《幾何原本》的第六卷命題 31 是這樣寫的：「在直角三角形中，對直角的邊上所作的圖形等於夾直角邊上所作與前圖相似且有相似位置的二圖形之和。」我估計，相信想出證明七的人，應該曾經參考過這壹個命題。
2001 年 8 月 13 日
2002 年 5 月 27 日（加添證明六的註釋）
子吉註曰：2001 年 6 月，本人獲教育署數學組之邀請，在壹個就著新數學課程而舉辦的研討會中，以「勾股定理證明評鑒」為題，發表了約半小時的演講。本文就是依照當日的講稿改寫而成的。在演講中，亦有使用演示軟件輔助講解，讀者如對該簡報檔有興趣，可按下面的連結下載。
http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm.html