圓周率就是圓的周長與它直徑之間的比，是壹個常數，用希臘字母“π”來表示，為算式355÷113所得。在天文歷法方面和生產實踐當中，凡是牽涉到圓的壹切問題，都要使用圓周率來推算。
如何正確地推求圓周率的數值，是世界數學史上的壹個重要課題。我國古代數學家們對這個問題十分重視，研究也很早。在《周髀算經》和《九章算術》中就提出徑壹周三的古率，定圓周率為三，即圓周長是直徑長的三倍。此後，經過歷代數學家的相繼探索，推算出的圓周率數值日益精確。西漢末年劉歆在為王莽設計制作圓形銅斛（壹種量器）的過程中，發現直徑為壹、圓周為三的古率過於粗略，經過進壹步的推算，求得圓周率的數值為3.1547。東漢著名科學家張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時，數學家王蕃推算出的圓周率數值為3.155。魏晉之際的著名數學家劉徽在為《九章算術》作註時創立了新的推算圓周率的方法——割圓術。他設圓的半徑為1，把圓周六等分，作圓的內接正六邊形，用勾股定理求出這個內接正六邊形的周長；然後依次作內接十二邊形，二十四邊形……，至圓內接壹百九十二邊形時，得出它的邊長和為6.282048，而圓內接正多邊形的邊數越多，它的邊長就越接近圓的實際周長，所以此時圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14；並且說明這個數值比圓周率實際數值要小壹些。在割圓術中，劉徽已經認識到了現代數學中的極限概念。他所創立的割圓術，是探求圓周率數值的過程中的重大突破。後人為紀念劉徽的這壹功績，把他求得的圓周率數值稱為“徽率”或稱“徽術”。
劉徽以後，探求圓周率有成就的學者，先後有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數值為3.1428；皮延宗求出圓周率值為22／7≈3.14。以上的科學家都為圓周率的研究推算做出了很大貢獻，可是和祖沖之的圓周率比較起來，就遜色多了。
祖沖之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但並未達到精確的程度，於是他進壹步精益鉆研，去探求更精確的數值。它研究和計算的結果，證明圓周率應該在3.1415926和3.1415927之間。他成為世界上第壹個把圓周率的準確數值計算到小數點以後七位數字的人。直到壹千年後，這個記錄才被阿拉伯數學家阿爾·卡西和法國數學家維葉特所打破。祖沖之提出的“密率”，也是直到壹千年以後，才由德國 稱之為“安托尼茲率”，還有別有用心的人說祖沖之圓周率是在明朝末年西方數學傳入中國後偽造的。這是有意的捏造。記載祖沖之對圓周率研究情況的古籍是成書於唐代的史書《隋書》，而現傳的《隋書》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他現傳版本壹樣的關於祖沖之圓周率的記載，事在明朝末年前三百余年。而且還有不少明朝之前的數學家在自己的著作中引用過祖沖之的圓周率，這些事實都證明了祖沖之在圓周率研究方面卓越的成就。
祖沖之按照劉徽的割圓術之法，設了壹個直徑為壹丈的圓，在圓內切割計算。當他切割到圓的內接壹百九十二邊形時，得到了“徽率”的數值。但他沒有滿足，繼續切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……壹直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內接正多邊形的邊長。最後求得直徑為壹丈的圓，它的圓周長度在三丈壹尺四寸壹分五厘九毫二秒七忽到三丈壹尺四寸壹分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那麽圓周小於3.1415927、大大不到千萬分之壹，它們的提出，大大方便了計算和實際應用。
要作出這樣精密的計算，是壹項極為細致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之那個時代，算盤還未出現，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是壹根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數目，叫做籌算法。如果計算數字的位數越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完壹次就得重新擺動以進行新的計算；只能用筆記下計算結果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。因此只要壹有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現了錯誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數值，就需要對九位有效數字的小數進行加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復進行十幾次，開方運算有50次，最後計算出的數字達到小數點後十六、七位。今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是壹件輕而易舉的事。讓我們想壹想，在壹千五百多年前的南朝時代，壹位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經常地重新擺放數以萬計的算籌，這是壹件多麽艱辛的事情，而且還需要日復壹日地重復這種狀態，壹個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。這壹光輝成就，也充分反映了我國古代數學高度發展的水平。
祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究過度量衡，並用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。
古代有壹種量器叫做“釜”，壹般的是壹尺深，外形呈圓柱狀，那這種量器的容積有多大呢？要想求出這個數值，就要用到圓周率。祖沖之利用他的研究，求出了精確的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”（另壹種量器，與上面提到的 都是類似於現在我們所用的“升”等量器，但它們都是圓柱體。），由於劉歆所用的計算方法和圓周率數值都不夠準確，所以他所得到的容積值與實際數值有出入。祖沖之找到他的錯誤所在，利用“祖率”校正了數值。
以後，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數值。祖沖之在前人的基礎上，經過刻苦鉆研，反復演算，將圓周率推算至小數點後7位數，並得出了圓周率分數形式的近似值。祖沖之究竟用什麽方法得出這壹結果，現在無從查考；如果設想他按劉徽的“割圓術”方法去求的話，就要計算到圓內接16000多邊形，這需要花費多少時間和付出多麽巨大的勞動啊！
據《隋書·律歷誌》記載，祖沖之以壹忽（壹丈的壹億分之壹）為單位，求直徑為壹丈的圓的周長，求得盈數為3.1415927、肭數為3.1415926，圓周率的真值介於盈肭兩數之間。《隋書》沒有具體說明祖沖之是用什麽方法計算出盈肭兩數的。壹般認為，祖沖之采用的是劉徽的割圓術，但也有別的多種猜測。這兩個近似值準確到小數第7位，是當時世界上最先進的成就。直到壹千多年以後，15世紀阿拉伯數學家卡西和16世紀法國數學家F.韋達才得到更精確的結果。祖沖之確定了π的兩個漸近分數，約率22/7和密率355/113。其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世紀才由德國人V.奧托發現。它是三個成對奇數113355再折兩段組成，優美、規整、易記。為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家把圓周率π的密率叫做“祖率”。