最小的余數是1還是0？這個問題妳選擇哪個答案？當除數是6，余數可以是幾？妳是填0-5，還是1-5？
這都涉及余數可不可以是0的問題。九義教材中余數是0被認為是沒有余數，1被認為是最小的余數。但實驗教材有不同的理解。下面的文章我覺得在所有的參考資料中說得是比較清楚明白的，推薦給同仁們參考。
轉 淺談在整數除法中余數可以為零
不少小學數學教師問過我這樣壹個問題:“在整數除法中,余數可不可以為0?”這個問題早有定論,於是我不假思索地肯定作答:“余數當然可以為0。”不料對於這壹答案,他們並不同意,其理由如下:
第壹,人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》,從壹年級上冊到六年級下冊,裏面均無“余數可以為0”的表述。
第二,《現代漢語詞典》(修訂本)(商務印書館, 1996 年 )第1553頁對“余數”壹詞的解釋為:“整數除法中,被除數未被除數整除所剩的大於0而小於除數的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4,余數是3。”這就表明余數不能為0。
在數學課本中找不到“余數可以為0” 的論述,而在詞典中卻找到了“余數不能為0”的證據,難怪讓他們對我的答案持懷疑態度。面對這樣壹個困擾小學數學界同仁的問題,該怎樣來正本清源呢?
我仔細地查閱了人教版全套小學數學課本,確實沒找到“余數可以為0”的表述,只在三年級下冊第26頁練習六第3題的指令性語言中,發現了三處“余數為0”的表述。我知道,這樣的表述既不是出現在正文中,又沒有說明道理,不足以成為論據。課本中沒有,看來只有通過合理思辨和相關考證來達到為小學同仁解惑之目的了。
1.要用對立統壹的觀點看待0
眾所周知,當盤子中連壹個桃子都沒有時,我們就說這盤中桃子的個數為0。從這個意義上講,0是空集的基數,0表示“沒有”。然而,0又是壹個確定的數,它是自然數列的起始數,它既不是正數,也不是負數,它是唯壹的中性數。從這個意義上講,0又表示“有”。這壹點不難理解。比方說,小明在黑板上寫了壹個“0”,妳總不能說他什麽都沒寫吧!再比方說,某地某時的氣溫為0攝氏度,妳總不能說該地該時沒有溫度吧!所以,我們應該用對立統壹的辯證觀點看待0,懂得0既可表示“無”,又可表示“有”。用這壹觀點考察整數除法,我們不難發現,當15÷5時,得到整數商3,既可以說“沒有余數”,也可以說“余數為0”,這兩種說法是完全等價的,因而都是正確的。
2.要用發展變化的觀點看待概念間的關系
人們對數學概念的認識並非壹成不變的,而是處於不斷發展變化之中的。例如,“整數”與“分數”最初是兩個並列的概念,它們相互排斥,涇渭分明,不容混淆。然而,出於數學自身發展的需要,後來,人們又把整數看做是分母為1,分子為該整數的假分數,如3=3/1,65=65/1。這樣壹來,“分數”的外延就擴大了,“整數”與“分數”的關系也由並列關系轉變為包含關系。“整數”成了“分數”的特例,整數集成了分數集的真子集。原先,整數集與分數集之並集才是有理數集,後來,這種廣義的分數集實際上就是有理數集了。
與此類似,人們研究整數除法時,先研究被除數能被除數整除的情形,如15÷5,正好得到整數商3,記作15÷5=3。後來才研究有余數的情形,如16÷5,得到不完全商3後還余1,記作16÷5=3…1。起初,“整除”與“有余數的除法”也是並列而互斥的概念,前者沒有余數,後者有余數,互不相容。後來,為了研究的方便,人們幹脆把“有余數的除法”的外延擴大,讓它把原先的兩個概念壹並囊括。因為這很容易辦到:只要把“整除”時的“沒有余數”看做“余數為0”即可。這樣壹來,“整除”就成了“有余數的除法”的特例,“整除”與“有余數的除法”也就順理成章地由對立變成統壹,二者統壹於廣義的“有余數的除法”之中。
3.“余數為0”的說法有據可查
事實上,“余數為0”的提法早已被數學界認可。
⑴《小學數學教師手冊》(人民教育出版社,1982年)第49頁有如下表述:
“判定壹個整數能不能被另壹個正整數整除,只需進行除法運算即可。如果所得的余數為0,就是整除的情況;如果所得的余數不為0,就是不能整除的情況。例如:
①a=91,b=13。a÷b=91÷13,商7余0。這表明91=13×7。即91能被13整除。
②a=97,b=19。97÷19商5余2。所以97不能被19整除。
壹般地,對於整數a和正整數b,如果進行除法a÷b得商q,余數為r,就有a=bq+r。其中0≤r
⑵《數學手冊》(人民教育出版社,1979年)第1057頁“數論”的“輾轉相除法”中,有如下表述:
“每壹個整數a可以唯壹地通過正整數b表示為a=bq+r, 0≤r
上述不等式0≤r
值得註意的是,“輾轉相除法”又稱“歐幾裏得算法”,我國宋代數學家秦九韶早在公元1247年即在其著作《數書九章》中,對這壹算法進行過卓有成效的研究。
⑶《數學手冊》(人民教育出版社,1979年)第1066頁“數論”的“同余式”中,有如下表述:“設以m為模,則可將全體整數分為m個類,同類的數都同余,不同類的數都不同余,稱這樣的類為同余類,每類中各取壹數為代表,例如:0,1,2,…,m-1構成壹個完全剩余類。”
由此易知,在以0為代表的這個剩余類中,每個數除以m,所得的余數均為0。也就是說,此類數中的每壹個都是m的倍數。
事實上,我們不僅從剩余類的理論中,看到了對“余數為0”的認可,還可以運用剩余類的理論和“抽屜原理”來解答壹類有關整除性的題目。載有這類題目並給出解答的數學書籍比比皆是,下面舉壹例。
求證:在任意四個整數中,必有這樣的兩個數,它們的差能被3整除。
證明:因為任何整數除以3,所得余數只可能是0,1,2三種。也就是說,所有整數按其除以3所得余數來分,可分為余數分別為0,1,2的三個剩余類。把每個剩余類都看做壹個抽屜,三個剩余類就是三個抽屜。根據“抽屜原理”,把四個整數放進三個抽屜,至少有壹個抽屜裏會有兩個整數。這兩個整數既屬同壹個剩余類,它們除以3所得的余數必然相同,故其差除以3所得的余數必為0,也就是說,這個差必能被3整除。
綜上所述,在整數除法中,余數的確是可以為0的。但在現行的人教版小學數學教材中,對此卻完全不予涉及,遂令在教學中起主導作用的教師迷茫不解,實在沒有道理。由此觀之,教材必須修改。
1.教材修改的重要意義
⑴有利於學生認識0的雙重意義,知道0既可表示“無”,又可表示“有”。使用修改後的教材教學,能讓學生初步感知對立統壹的辯證思想。
⑵有利於學生用發展變化的辯證唯物主義觀點認識概念間的關系,知道當學習了“有余數的除法”後,原來的“整除”(包括“表內除法”)可以看做是“有余數的除法”的特例,由此理解“特殊”與“壹般”的關系。
⑶有利於學生後續的數學學習。
2.教材修改的具體意見
⑴ 要明確指出“沒有余數”就是“余數為0”。
人教版小學數學三年級上冊第四單元“有余數的除法”第50頁例題1為:“搬15盆花布置會場,每組擺5盆,可以擺幾組?”解答此題的橫式為 15÷5=3(組)。接著,課本上還列出了豎式。
這道例題顯然起著承上啟下的作用:既承接二年級下冊的“表內除法”,又由此介紹除法豎式,為“有余數的除法”的教學作鋪墊。
第51頁例題2是:“壹***有23盆花,每組擺5盆,最多可以擺4組,還多3盆。”這是“有余數的除法”的首個例題。解答時,課本上先列出橫式:
23÷5=4(組)……3(盆)。
再在橫式下方列出豎式,並用虛線將兩個式子中的3連接,標上“余數”二字。
課本上述編排頗具匠心,但還應作點補充。建議在這兩道例題後面,不失時機地編排壹段對“0”的辯證認識的文字,讓學生懂得:“0”雖然表示“沒有”,但它同時又是壹個確定的數,從這個意義上講,“0”也表示“有”。緊接著,還要引導學生對這兩道例題的豎式進行觀察和比較,發現例題1豎式中最下面的“0”與例題2豎式最下面的“3”處於相同的位置,“3”既表示余數,“0”也可看成是余數。過去我們說15÷5恰好等於3,“沒有余數”,現在我們也可說15÷5,商為3,“余數為0”。
相信這樣處理,學生能在輕松愉快中接受辯證唯物主義思想的啟蒙教育。
⑵要明確指出除數為a時,***有a種不同的余數:0,1,2,…,a-1。
三年級上冊第52頁例題3為:“如果上例中壹***有16盆花,可以擺幾組?多幾盆?如果是17盆,18盆,…,24盆,25盆呢?”
課本上列出了壹組式子:
15÷5=3(組)
16÷5=3(組)……1(盆)
17÷5=3(組)……2(盆)
18÷5=3(組)……3(盆)
19÷5=3(組)……4(盆)
20÷5=□(組)
21÷5= □(組)……□(盆)
22÷5= □(組)……□(盆)
23÷5=
24÷5=
25÷5=
在這組式子的右邊,提了壹個問題:“觀察余數和除數,妳發現了什麽?”旨在引導學生發現“余數小於除數”的結論。
此題編得不錯,無須大改。關鍵是要增加壹段文字,要告訴學生:“15÷5=3(組)”也可寫作“15÷5=3(組)……0(盆)”。這樣,展現在學生面前的余數就有0,1,2,3,4五種,就不會由於余數0的隱匿,而使學生誤認為“壹個整數除以5,只有1,2,3,4四種余數”了。
到四年級學習了“用字母表示數”後,課本還應當用更具概括性的語言告訴學生:在整數除法中,如果除數是a,則余數只能是0,1,2,…,a-1,壹***有a種。
當今時代,數學不僅作為工具,發揮著越來越重要的作用,而且,數學作為壹種文化,也日益深入人心。近年來,人們對0的雙重意義的認識越來越到位了。這不,沒有距離被稱作“零距離”;不收關稅被稱作“零關稅”。把沒有誤差稱作“零誤差”;把沒有風險稱為“零風險”。而像“零增長” “零收益” “零虧損” “零排放” “零損耗” “零學費” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之類的提法早已見諸各媒體。隨著時間的推移,像這類以“零××”為模式的詞匯還在不斷地誕生。前些時候,美國國務卿希拉裏·克林頓由於不滿下屬的荒唐行為,還首創了“零忍耐”壹詞,令人頗感新鮮。
“0”本是數學中的元素,在數學的整數除法中,又實實在在地存在著余數為0的現象,而為什麽在我們的小學數學教科書上,反倒連壹個“零余數”都不敢提呢?這真是:墻外百花齊放,墻內掖掖藏藏。令人不解其意,空自扼腕嗟傷!
教科書是師生進行教學活動的重要資源和主要依據,該說清的壹定要說清,該指明的壹定要指明。壹切都要為學生的發展著想。千萬別把壹些該讓孩子們知道的數學知識“堅壁清野”,而且還藏得那麽幹凈徹底,藏得那麽了無痕跡,讓教師都困擾莫名。試想,如果教科書都讓教師 “找不到北”了,那麽我們的孩子又能聰明到哪裏去呢?