當級數{an}和{bn}分別以a和b為極限時，級數{anbn}的極限是a b，級數{anbn}的極限是ab；當bbn不等於0時，{an/bn}的極限為a/b；當函數F和G的極限分別為A和B時，函數F B的極限為A B，函數fg的極限為AB；當bg不等於0時，{f/g}的極限為a/b。
數列的極限問題是我們學習的重要內容，極限理論也是高等數學的基礎之壹。數列極限問題作為微積分的基本概念，對微積分理論有著重要的意義。
數列極限的四種算法的證明方法如下:
定理:設{an}和{bn}是收斂序列，則
(1)lim(n->；∞)(an bn)= lim(n-& gt；∞)壹個lim(n-& gt；∞)bn；
(2)lim(n->∞)(an bn)= lim(n-& gt；∞)壹個lim(n-& gt；∞)bn。
如果bn≠0且lim(n->；∞)bn≠0，則lim(n->；∞)(an/bn)= lim(n-& gt；∞)an/lim(n-& gt；∞)bn。
證書:假設lim(n-& gt；∞)an=a，lim(n-& gt；∞)bn=b，則ε>；0，正整數n，
當n >時；當n時，有| an-a | <ε；| bn-b | & lt；ε.
(1)那麽|(an+bn)-(a+b)|≤| an-a |+| bn-b | < 2ε。
所以lim(n->；∞)(an+bn)= lim(n-& gt；∞)an+lim(n-& gt；∞)bn；
∫an-bn = an+(-bn)，
所以lim(n->；∞)(an-bn)= a-b = lim(n-& gt；∞)an-lim(n-& gt；∞)bn。
(2)根據有界性定理，存在壹個正數m，存在| bn | < M。
∴|an bn-ab | = | bn(an-a)+a(bn-b)|≤| bn | | an-a |+| a | | bn-b | & lt；(| bn |+| a |)ε& lt；(M+|a|)ε。
∴lim(n->；∞)(an bn)= lim(n-& gt；∞)壹個lim(n-& gt；∞)bn。
∫an/bn = an 1/bn，so lim(n->；∞)(an/bn)= lim(n-& gt；∞)an/lim(n-& gt；∞)bn。