如果整數a除以整數b所得余數是1，那麽，整數a的2倍、3倍、4倍、……、（b-1）倍除以整數b所得的余數就分別是
1×2=2，
1×3=3，
1×4=4，
…………
1×（b-1）=b-1.
例如，15÷7=2……余1，即
2×15÷7=4……余2，
3×15÷7=6……余3，
4×15÷7=8……余4，
5×15÷7=10……余5，
6×15÷7=12……余6.
還請大家註意壹條經驗.
從某數a中連續減去若幹個b後，求所得的要求小於數b的差數，實際上就是求數a除以數b所得的余數.
例如，從758裏連續減去若幹個105後，求所得的要求小於105的差數，實際上就是求758除以105所得的余數.即
758÷105=7……余23.
下面我們就來研究“孫子問題”.
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣壹個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”意思是，“壹個數除以3余2，除以5余3，除以7余2.求適合這個條件的最小數.”這個問題稱為“孫子問題”.關於孫子問題的壹般解法，國際上稱為“中國剩余定理”.
實際上，上面的問題我們可以這樣來想：
分別寫出除數3、5、7的兩兩公倍數.如下表：
編號 壹組 二組 三組
最小公倍數 3和5的公倍數 3和7的公倍數 5和7的公倍數
其他公倍數 15 21 35
30 42 70
45 63 105
60 84 140
75 105 175
……
我們在第壹組數中選出合乎“除以7余2”的較小數——30；
在第二組數中選出合乎“除以5余3”的較小數——63；
在第三組數中選出合乎“除以3余2”的較小數——35.
根據和的整除性，可知30+63+35=128壹定是壹個同時合乎“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的數（為什麽？），但是不壹定是最小的.要得到合乎條件的最小數，只要從中減去3、5、7的最小公倍數的若幹倍，使得差數小於這個最小公倍數就是了.
3、5、7的最小公倍數是3×5×7=105，因此，由於前面的經驗二，可知
128÷105=1……余23.
這個余數23就是要求的合乎條件的最小數.
有意義的是，雖然孫老先生的解法也是從對上表的思索得到的，但他的解法更具有壹般性.親愛的讀者，妳能猜想到孫子的壹般解法嗎？
規律
壹個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合這個條件的最小數.孫子的解法是：
先從3和5、3和7、5和7的公倍數中相應地找出分別被7、5、3除均余1的較小數15、21、70.即
15÷7=2……余1，
21÷5=4……余1，
70÷3=23……余1.
再用找到的三個較小數分別乘以被7、5、3除所得的余數的積連加，
15×2+21×3+70×2=233.
最後用和233除以3、5、7三個除數的最小公倍數.
233÷105=2……余23，
這個余數23就是合乎條件的最小數.
以上三個步驟適合於解類似“孫子問題”的所有問題.
練習
1.韓信點兵：有兵壹隊，若列成五行縱隊，則末行壹人，成六行縱隊，則末行五人，成七行縱隊，則末行四人，成十壹行縱隊，則末行十人.求兵數.
2.有壹堆棋子，三個三個地數剩下2個，五個五個地數剩下4個，七個七個地數剩下6個.問這堆棋子最少有多少個？（用兩種方法解）
3.某數除以7余3，除以8余4，除以9余5.從小到大求出適合條件的十個數.
4.某數除以5余2，除以7余4，除以11余8.求適合條件的最小數.
5.壹猴子數壹堆桃子.兩個兩個地數剩下1個，三個三個地數剩下1個，五個五個地數剩下3個，七個七個地數剩下3個.問這堆桃子最少是多少個？
數學很抽象，又令人感到枯燥無味，怎樣使數學易於理解，為人們所喜愛，在這方面，中國古代數學家做出許多嘗試，歌謠和口訣就是其中壹種。 從南宋楊輝開始，元代的朱世傑、丁巨、賈亨、明代的劉仕隆、程大位等都采用歌訣形式提出各種算法或用詩歌形式提出各種數學問題。朱世傑的《四元玉鑒》、《或問歌錄》***有十二個數學問題，都采用詩歌形式提出。如第壹題：
今有方池壹所，每面丈四方停。
葭生兩岸長其形，出水三十寸整。
東岸蒲生壹種，水上壹尺無零。
葭蒲稍接水齊平，借問三般（水深、蒲長、葭長）怎定？
第四題：
我有壹壺酒，攜著遊春走。
遇店添壹倍，逢友飲壹鬥。
店友經三處，沒了壺中酒。
借問此壺中，當原多少酒。
明代程大位《算法統宗》是壹本通俗實用的數學書，也是數字入詩代表作。《算法統宗》全書十七卷，廣泛流傳於明末清朝，對於民間數學知識的普及貢獻卓著。這本書由程大位花了近20年完成，他原本是壹位商人，經商之便搜集各地算書和文字方面的書籍，編纂成壹首首的歌謠口訣，將枯燥的數學問題化成美妙的詩歌，讓人朗朗上口，加強了數學普及的親合力。
著名《孫子算經》中有壹道“物不知其數”問題。這個算題原文為：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？答曰二十三。”這個問題流傳到後世，有過不少有趣的名稱，如“鬼谷算”、“韓信點兵”等。程大位在《算法統宗》中用詩歌形式，寫出了數學解法：
三人同行七十稀，五樹梅花廿壹枝，
七子團圓月正半，除百零五便得知。
這首詩包含著著名的“剩余定理”。也就說，拿3除的余數乘70，加上5除的余數乘21，再加上7除的余數乘15，結果如比105多，則減105的倍數。上述問題的結果就是：（2×70）＋（3×21）＋（2×15）－（2×105）＝23
這個問題在宋代壹本筆記書裏也有壹個詩歌解法：
三歲孩兒七十稀，五留廿壹事尤奇。
七度上元重相會，寒食清明便可知。
古代稱正月十五為上元，所以上元指15，又稱冬至百六是清明，寒食是清明節前壹日，所以寒食清明指105。這二首詩解法都壹樣，答案是23。
程大位還有壹首類似的二元壹次方程組的飲酒數學詩：
肆中飲客亂紛紛，薄酒名醨厚酒醇。
好酒壹瓶醉三客，薄酒三瓶醉壹人。
***同飲了壹十九，三十三客醉顏生。
試問高明能算士，幾多醨酒幾多醇？
這道詩題大意是說：好酒壹瓶，可以醉倒 3 位客人 ; 薄酒三瓶，可以醉倒壹位客人。如果 33 位客人醉倒了，他們總***飲下 19 瓶酒。試問：其中好酒、薄酒分別是多少瓶？
在元代有壹部算經《詳明算法》內有關於丈量田畝求法：
古者量田較潤長，全憑繩尺以牽量。
壹形雖有壹般法，惟有方田法易詳。
若見渦斜並凹曲，直須裨補取為方。
卻將黍實為田積，二四除之畝法強。
明代南海才子倫文敘為蘇東坡《百鳥歸巢圖》題的數學詩：
天生壹只又壹只，三四五六七八只。
鳳凰何少鳥何多，啄盡人間千石谷！
經運算：“天生壹只又壹只”，是1＋1＝2。“三四五六七八只，乃3×4＝12，5×6＝30，7×8＝56。四組數字相加之和，正好是100只。這首詩有如智力遊戲，啟人以智。
這樣，這類問題就都可以掌握了吧。