在古代世界的四大文明中，中國的數學是持續繁榮時間最長的。從公元前14世紀開始，中國古典數學經歷了三次發展高潮，即漢代、魏晉南北朝和宋元時期，並在宋元時期達到頂峰。
與希臘古典數學以證明定理為中心不同，中國古代數學側重於創造算法，尤其是求解方程的各種算法。從線性方程到高次多項式方程，甚至不定方程，中國古代數學家創造了壹系列先進的算法（中國數學家稱之為“技術”），他們使用這些算法求解相應類型的代數方程，從而解決了導致這些方程的各種科學和實際問題。特別是，幾何問題也被簡化為代數方程，然後通過風格化的算法求解。因此，中國古代數學具有明顯的算法化和機械化特征。這裏有壹些例子來說明中國古代數學發展的這壹特點。
1.1線性方程組與“方程技巧”
中國古代最重要的數學經典《九章算術》第八卷中的“方程技巧”是壹種求解線性方程組的算法。以本卷題目1為例，用現代符號表示，這個問題相當於解壹個三變量線性方程組:
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
“九章”沒有表示未知的符號，而是使用計算來計算X？y？z的系數和常數項排列在壹個（長）方陣中:
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
“方程技術”的關鍵算法被稱為“乘法和直接除法”。在這個例子中，計算過程如下:將該行和左行的數字乘以右行的系數（x），然後將得到的結果單獨“劃分”右行，即連續減去右行的相應數字，然後該行和左行的系數將變為0。這個方程可以通過反復執行這個“乘除”算法來求解。很明顯，“九章算術”的方程技術的“乘法和直接除法”算法本質上是我們今天使用的解線性方程的消元法。過去，它在西方文學中被稱為“高斯消元法”，但近年來，它開始改變其名稱。例如，法國科學院院士、蘇黎世大學數學系前系主任P.Gabriel教授在其教科書中將解線性方程組的消元法稱為“張蒼法”【4】。
1.2高次多項式方程與“正負平方根”
《九章算術》卷四有“方”和“方”。《九章算術》中的這些算法逐漸擴展到高次冪的情況，並在宋元時期發展為壹般高次多項式方程的數值解法。秦是這方面的大師。他在《數學書九章》（1247）壹書中給出了高次多項式方程數值解的完整算法，他稱之為“正負平方抽取”。
用現代符號表達，秦九韶的“正負平方根”思想如下:對於任何給定的方程，
f（x）= a0xn+a 1xn-1+……+an-2 x2+an-1x+an = 0（1）
其中a0≠0，an
f（c+h）= A0（c+h）n+a1（c+h）n-1+……+an-1（c+h）+an = 0
關於h的等式可以根據h的冪通過組合類似的項來獲得:
f（h）= a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an = 0（2）
然後可以再次估計滿足新等式（2）的根的最高數字。如果這樣下去，如果壹個新方程的常數項為0，則根是壹個有理數；否則，可以繼續上述過程，並根據所需的精度獲得根的近似值。
如果系數A0，a6+0，...原始方程（1）的α和估計α被用於找到系數a0，a1，...新等式（2）的壹個，需要重復使用該算法。秦給出了壹個標準化的方案，我們可以稱之為“秦方案”。他在數學書籍的第九章中寫道。涉及的最高方程數為10。秦解決這些問題的算法統壹而清晰，是中國古代算法數學和機械化數學的典範。
1.3多元高階方程組與“四元技術”
不是所有的問題都可以簡化為線性方程或未知量的多項式方程。事實上，可以說，如果更大數量的實際問題可以用代數方程來解決，那麽就會出現含有多個未知數的高階方程。
即使在今天，解高階多元方程也不容易。我國元代數學家朱世傑是歷史上第壹個系統處理多元高次方程的數學家。朱世傑的四個玉娟劍（1303）中涉及的高次方程有四個未知數。朱世傑用“四要素”解了這些方程。“四元技術”首先用“天”“地”“人”“物”表示不同的未知數，同時建立方程組，再用壹般的序貫消元法求解方程組。朱世傑在思源遇見創造了各種各樣的淘汰程序。
通過《四元玉鏡》中的具體事例，我們可以清楚地了解朱世傑“四元術”的特點。值得註意的是，這些例子中有相當壹部分是從幾何問題中推導出來的。這種將幾何問題轉化為代數方程並用統壹算法求解的例子在宋元數學著作中比比皆是，充分反映了我國古代幾何的代數化、機械化傾向。
1.4線性同余方程組與“中國剩余定理”
中國古代數學家出於歷法計算的需要，開始研究歷法的形狀:
x≡Ri（mod ai）I = 1，2，...，n（1）
（其中ai是成對互質的整數）。公元4世紀，有壹個著名的“孫子問題”，該問題相當於求解以下同余組:
X≡2（模3）≡3（模5）≡2（模7）
《孫子算經》的作者給出的解指導了宋代秦解同余組的壹般算法——“大拓求法”。這種通用算法在現代文獻中通常被稱為“中國余數定理”。
1.5插值和“調用差”
插值算法在微積分的醞釀過程中起著重要的作用。在中國，早在東漢時期，學者們就使用內插法來計算太陽、月亮和五星的運動。起初，這是壹種簡單的壹次性插值方法，在隋唐時期，出現了第二種插值方法（例如，達李巖的壹條線，727）。由於天體運動的加速度不均勻，二次插值仍然不夠精確。隨著歷法的進步，到了宋元時期，出現了三種內插法（郭守敬《計時歷法》，1280）。在此基礎上，數學家朱世傑甚至創造了壹個通用的高階插值公式，這就是他所謂的“絕招”。朱世傑的公式相當於
f（n）= n△+n（n？1）△2+n（n？1）？2)△3
+n（n？1）？2）（n？3)△4+……
這是壹項非常傑出的成就。
不可能列出中國古代數學家的所有算法，但從上述介紹中不難看出，中國古代和中世紀數學家創造的許多算法即使以現代標準衡量也達到了很高的水平。這些算法所表達的壹些數學真理直到公元18世紀後才在歐洲依靠現代數學工具重新獲得（例如，上述用於高次代數方程數值解的秦程序與英國數學家W Horner在1819中重新推導的Horner算法基本壹致；對多元高次方程的系統研究直到歐洲18年底才出現在E. Bezhu等人的著作中。歐拉和高斯分別重新得到了求解壹次同余組的留數定理。至於朱世傑的高階插值公式，與現在普遍使用的牛頓-格雷戈裏公式本質上是壹致的）。這些算法的結構和復雜性也令人驚嘆。例如，對秦的“大繞射求壹術”和“正負根法”的分析表明，這些算法的計算程序包含了用現代計算機語言構造非平凡算法的基本元素和結構。這種復雜的算法很難被視為簡單的經驗法則，而是高度概括化思維能力的產物，這與歐幾裏得幾何的演繹思維風格完全不同，但它在數學發展中起著完全可比的作用。事實上，中國算法在古代的繁榮也催生了壹系列極其重要的概念，顯示了算法思維在數學進化中的創造性意義和能動作用。這裏有幾個例子。
1.6負數介紹
在《九章算術》中“方程技巧”的消元程序中，當減去方程的系數時，壹個小數字將減少壹個大數字。正是在這裏，《九章算術》的作者們引入了負數，並給出了正負數的加減算法，即“加減術”。
理解負數是人類數系擴展的重要壹步。公元7世紀，印度數學家開始使用負數，但歐洲對負數的理解很慢。即使在16世紀，吠陀的作品也避免使用負數。
1.7無理數的發現
中國古代數學家在平方根運算中接觸到無理數。在《九章算術處方》中指出有無窮無盡的情況:“若有無窮無盡的處方，則不能開。”《九章算術》的作者給這個無窮無盡的數字起了壹個特殊的名詞——“面”。“面子”是壹個無理數。與古希臘畢達哥拉斯學派發現正方形的對角線不是有理數相比，中國古代數學家相對自然地接受了那些“無窮無盡“的無理數，這可能歸因於他們長期使用的十進制系統，這使他們能夠有效地計算“無窮無盡的根“的近似值。三國時期的數學家劉徽為《九章算術》做了壹個註釋，明確提出了壹種用小數任意逼近無數根的方法，他稱之為“微分法”，並指出在做正方形的過程中，“壹退十步，再退百步，再退百步，其點皆精，所以..雖然有壹些廢棄的號碼，
十進制記數制度是對人類文明不可磨滅的貢獻。法國偉大的數學家拉普拉斯曾稱贊十進制的發明，說它“使我們的算術系統在所有有用的發明中成為壹流的”。中國古代數學家正是在嚴格遵循十進制的基礎上，建立了具有算法特色的東方數學大廈。
1.8賈仙三角或楊輝三角
從介紹高次方程的數值求解算法（秦程序）可以看出，我國古代的平方方法是根據？基於c+h n的二項式展開，這導致了二項式系數表的發現。南宋數學家楊輝著有《九章算法詳解》（1261），其中有壹張所謂的“平方根法根圖”，其實就是壹張二項式系數表。此圖摘自公元1050年左右北宋數學家賈憲的壹部作品。“處方實踐的根圖”現在被稱為“賈仙三角”或“楊輝三角”。二項式系數表在西方被稱為帕斯卡三角形？1654.
1.9趨勢符號代數
解方程的數學活動必然會引起人們對方程表達形式的思考。在這方面，中國古代擅長解方程的數學家自然占了先機。在宋元時期的數學著作中，曾有過用特定漢字作為未知數的符號，然後建立方程的系統嘗試。這就是以葉莉為代表的“天工”和以朱世傑為代表的“四大功法”。所謂“天元術”，首先是“設天元為某某”，相當於“設天元為某某”，“天元為壹”的意思是未知，然後在算盤上排列“天元體”，即壹維方程。這種方法被推廣到許多未知的情況，即前面提到的朱世傑的“四元素法”。因此，使用天體法和四元法對方程進行排序的方法類似於現代代數中對方程進行排序的方法。
符號化是現代代數的標誌之壹。中國宋元時期的數學家在這方面邁出了重要的壹步。“天工”和“四元”是中國古代數學的巔峰，集中於創造算法，尤其是解方程？。
2中國古代數學對世界數學發展的貢獻
數學的發展包括兩個主要活動:證明定理和創造算法。定理證明是由希臘人發起的，然後形成了數學發展中演繹傾向的支柱；算法創造在古代和中世紀的中國和印度蓬勃發展，在數學發展中形成了強烈的算法傾向。縱觀數學史，我們會發現數學的發展並不總是以演繹傾向為主導。在數學史上，算法傾向和演繹傾向總是交替占據主導地位。古巴比倫和埃及的原始算法被希臘演繹幾何所取代，而在中世紀，希臘數學衰落了，算法在中國、印度和其他東方國家趨於繁榮。東方數學在文藝復興前夕通過阿拉伯傳到歐洲，對現代數學的興起產生了深遠的影響。事實上，解析幾何和微積分作為現代數學的誕生標誌，從思維方法的起源來看，不能說是演繹傾向的產物，而是算法傾向的產物。
從微積分的歷史中我們可以知道，微積分的產生是尋找壹種通用算法來解決壹系列實際問題的結果？6?。這些問題包括:確定物體的瞬時速度，求最大值和最小值，求曲線的切線，求物體的重心和重力，計算面積和體積。從16世紀中葉開始的100多年裏，許多偉大的數學家致力於獲得解決這些問題的特殊算法。牛頓和萊布尼茨的功績在於將這些特殊算法統壹為兩種基本運算——微分和積分，並進壹步指出它們之間的互逆關系。無論牛頓的先驅還是牛頓本人，他們使用的算法都不嚴格，沒有完整的推導。牛頓流數技術的邏輯缺陷眾所周知。對於當時的學者來說，第壹件事是找到壹種有效的算法，而不是證明它。這種趨勢壹直持續到18世紀。18世紀的數學家經常不顧微積分基礎的困難而取得大膽的進步。比如泰勒公式，歐拉，伯努利，甚至19世紀初傅立葉發現的三角形展開都長期缺乏嚴格證明。正如馮·諾依曼所指出的:沒有壹個數學家會把這壹時期的發展視為異端邪說；這壹時期產生的數學成就被認為是第壹流的。另壹方面，如果當時的數學家在嚴格的演繹證明後不得不承認新算法的合理性，就不會有今天的微積分和整個分析大廈。
現在讓我們來看看早期解析幾何的誕生。壹般認為笛卡爾發明解析幾何的基本思想是用代數方法解決幾何問題。這與歐幾裏得演繹法截然不同。事實上，如果我們閱讀笛卡爾的原著，我們會發現貫穿其中的徹底的算法精神。《幾何》開篇就宣稱:“為了讓自己更聰明，我會毫不猶豫地把算術項引入幾何”。眾所周知，笛卡爾的《幾何原本》是他的哲學著作《方法論》的附錄。笛卡爾在另壹部未出版的哲學著作《指導思維的法則》（以下簡稱《法則》）中強烈批評了傳統的研究方法，主要是希臘方法，認為古希臘人的演繹推理只能用來證明我們已經知道的東西，“但它不能幫助我們發現未知”。因此，他提出“需要壹種發現真理的方法”，並稱之為“數學宇宙”。笛卡爾在《定律》中描述了這種普通數學的藍圖，他的大膽計劃簡單地說就是將所有科學問題轉化為求解代數方程的數學問題:
任何問題→數學問題→代數問題→方程解。笛卡爾的幾何學是他上述方案的具體實施和論證。解析幾何在整個方案中起著重要的工具作用，它將所有幾何問題轉化為代數問題，這些問題可以通過壹種簡單的、幾乎自動的或相當機械的方法來解決。這符合上面介紹的中國古代數學家的解題路線。
因此，我們完全有理由說，在17世紀從文藝復興到現代數學興起的大潮中，東方數學尤其是中國數學的節奏是相呼應的。整個17-18世紀應該算是壹個尋求無窮小算法的英雄時代，盡管這壹時期的無窮小算法與中世紀的算法相比有了質的飛躍。然而，從19世紀開始，特別是從20世紀70年代直到20世紀中葉，演繹傾向再次在比希臘幾何高得多的水平上占據優勢。因此，數學的發展呈現出兩個主流交替繁榮和螺旋上升的過程:算法創造和演繹證明；
演繹傳統-定理證明活動
算法傳統——算法創造活動
中國古代數學家為算法傳統的形成和發展做出了巨大貢獻。
我們強調中國古代數學的算法傳統，並不意味著中國古代數學沒有演繹傾向。事實上，在魏晉南北朝時期壹些數學家的著作中，已經有了相當深刻的論證思想。比如趙爽的勾股定理的證明和劉輝的“央媽”？壹個矩形圓錐體體積的證明，祖沖之父子對球體體積公式的推導等。，可以與古希臘數學家的相應工作相比較。趙爽勾股定理證明圖“弦圖”的原型已被采用為2002年國際數學家大會會徽。令人困惑的是，隨著南北朝的結束，這種爭論傾向可以說戛然而止。限於篇幅和本文的重點，我們無法在此詳細闡述這方面的內容。感興趣的讀者可以參考參考文獻？3?。
3古為今用，創新發展
在20世紀，至少從中期開始，電子計算機的出現對數學的發展產生了深遠的影響，並產生了壹系列令人矚目的成就，如孤子理論、混沌動力學和四色定理的證明。在計算機和有效算法的幫助下，我們可以猜測和發現新的事實，歸納和證明新的定理，甚至進行更普遍的自動推理...所有這些可以說揭開了數學史上算法繁榮新時代的偉大序幕。科學界敏銳的有識之士已經預見到數學發展的這壹趨勢。在中國，早在20世紀50年代，華教授就親自領導成立了計算機研究小組，為中國計算機科學和數學的發展奠定了基礎。從20世紀70年代中期開始，吳文俊教授毅然從最初的拓撲學領域轉向定理機器證明的研究，開創了現代數學的壹個全新領域——數學機械化。被國際上譽為“吳方法”的數學機械化方法使中國在數學機械化領域處於領先地位。正如吳文俊教授自己所說，“用幾何定理證明的機械化問題，至少在宋元時期就可以從思維到方法上找到答案”，他的工作“主要受到中國古代數學的啟發”。“吳法”是中國古代數學算法化和機械化精髓的發展。
在計算機的影響下，算法的發展趨勢自然引起了壹些外國學者對中國古代數學中算法傳統的興趣。早在20世紀70年代初，著名計算機科學家D.E.Knuth就呼籲人們關註古代中國和印度的算法？5?。多年來，在這壹領域取得了壹些進展，但總的來說，仍需加強。眾所周知，包括數學在內的中國古代文化通過著名的絲綢之路傳播到西方，而阿拉伯地區是這壹文化傳播的重要中轉站。現存的壹些關於數學和天文學的阿拉伯著作包含了壹些中國的數學和天文學知識。例如，阿爾·凱西的名著《算術的關鍵》中有相當多的數學問題直接或間接來自中國。根據阿爾·卡西的描述，在他工作的天文臺有許多來自中國的學者。
然而，長期以來，由於“西方中心論”特別是“希臘中心論”的影響以及語言和文字方面的障礙，相關材料並未得到深入挖掘。為了充分揭示東方數學與歐洲數學文藝復興的關系，吳文俊教授特意從其獲得的國家最高科學獎中撥出專項經費設立“吳文俊數學與天文學絲路基金”，鼓勵和支持青年學者在該領域開展深入研究，意義深遠。
研究科學史的重要意義之壹是借鑒歷史的發展，促進現實的科學研究，通俗地說就是“古為今用”。吳文俊對此有著精辟的論述。他說:“如果妳了解數學的歷史發展、壹個領域的發生和發展、壹種理論的興盛和衰落、壹個概念的來龍去脈、壹種重要思想的產生和影響等許多歷史因素，我想妳就會對數學了解得更多，對數學的現狀了解得更清楚、更深刻，對數學的未來也能起到指導作用，即。數學機械化理論的建立是這壹原理的成果。中國科技的偉大復興呼喚更多具有濃郁中國特色和鮮明時代氣息的創新成果。