它表示空間位置信息、相應位置處的觀察像素值信息和相應位置處的真實像素值信息。是要求解的對象，常稱為地真，是平均值為0的隨機噪聲。
如果多次觀測同壹目標，為了從這壹系列觀測值中恢復真實信號，根據貝葉斯理論框架，如果已知獨立同分布噪聲的概率密度函數，則有壹個表達式。
濾波問題是求解下面的方程。
在均勻先驗的假設下，如果是零均值高斯白噪聲，存在如下表達式。
顯然，上述公式的解是壹個常見的均值濾波器。它基於對同壹目標的多次觀測的假設。在圖像處理中，壹般認為空間上相鄰的像素很可能是相同的，所以通常在目標點的空間域進行平均運算。但上述公式的要求比較嚴格，要求周圍像素和中心像素具有相同的真值。可以想象，這種方法在同質區域有很好的效果。實際上是最小方差無偏意義下的齊次區域最佳濾波器，達到了這個問題的克拉美羅界。對於非均勻區域，周圍像素不再與中心像素絕對壹致，濾波器無偏差地濾除屬於信號的高頻信息(如邊緣信息)，造成邊緣模糊現象。所以後來引入了帶權重的濾鏡，對這些周邊區域的像素賦予不同的權重。中心像素越相似，權重越大，權重越不相似。這些濾波器可以由下面的公式統壹表示。
權重是壹個對稱的正函數，代表像素之間的相似度和距離。很多濾波算法都可以用上面的公式來表示，它們之間的區別就在於這個權函數的不同。前面的平均濾波器也是壹個特例，其中。另外還有常見的高斯濾波器(GF)，把權重函數寫成只與位置相關的函數，認為空間上距離越近，相似度越大，距離越遠，相似度越小。相似性權重和距離的關系用高斯函數描述，如果用歐氏距離度量距離，其權重可以用下面的公式表示。
除了高斯函數，還有很多類似的只與空間位置相關的核函數。遺憾的是，這種描述只考慮了空間關系，缺乏基於內容的校正，因此沒有解決邊緣、拐角等高頻信號的模糊問題。所以後面提出了雙邊濾波器，其權重函數如下式所示。
這種雙邊濾波考慮了像素值之間的相似性，對於有邊緣的圖像可以起到壹定的保邊緣作用。然而，雙邊濾波器的性能將惡化低信噪比的圖像。這是因為噪聲的幹擾，同側像素之間的相似度會很低。根本原因是位置的值是精確的，但是像素的值是近似的，直接用單個像素的值會受到噪聲的影響。為了增加濾波器對噪聲的抵抗能力，需要用周圍的場來估計相關的參數，於是後來有學者提出了局部自適應回歸核LARK，其權核函數如下。
這種方法首先估計窗口內各點的梯度協方差矩陣，然後求平均。這壹步的實質是求解窗口內邊緣的方向，從而使濾波核函數與圖像結構相關。與之前的均勻濾波和高斯濾波相比，LARK權重系數在各個方向上的下降速度不同，與梯度正相關，因此考慮了圖像本身的結構信息。與雙邊濾波器相比，LARK利用周圍的場來估計相關系數，具有更強的抗噪聲能力。LARK可以被認為是壹種從數據中學習魯棒結構探針的方法。
為了進壹步提高性能，需要在這個估計器中加入更多的相似像素，因此需要將周圍區域擴展到更大的範圍，例如整個圖形，這是非局部均值(NLM)算法的起點。可以用下面的公式來表示
它完全忽略了距離對權重的影響，只考慮圖像像素和結構的相似性，從而可以將更多屬於同壹目標的像素加入到計算中，進壹步降低估計結果的方差，提高泛化性能。遺憾的是，如果嚴格按照公式，我們要對每個點做這樣的全圖相似度計算操作，其計算復雜度急劇上升。所以應用中經常使用局部鄰域方案，只是相對較大的鄰域。如果非局部算法只根據單個像素的觀測值計算權值，對於低信噪比的結果也會造成性能惡化。基於小塊的非局部算法通常用來增強算法的魯棒性。然而，對於那些不具有自相似性的圖像，復雜和不規則的結構將被過度平滑。
如果對偶用矩陣來描述，可以寫成
上述方程的封閉解為
上述公式是單點濾波的閉式解，如果是全區域的點濾波，可以寫成
可以看出，這些空間方法的核心是權重參數。雖然不同方法得到的參數不同，但都是鄰點的函數。如果將公式稍加變換，就可以得到
這就是變換域濾波算法，先通過正交矩陣把信號變換到變換域，再通過矩陣在變換域濾波，再通過正交矩陣變換到原域。常用的變換有傅立葉變換、小波變換、DCT變換等。
上面提到的算法都是基於公式的，它們有壹個共同的特點，就是都是在均勻先驗的假設下。這種假設認為濾波後圖像的像素值在整個顏色空間中是均勻分布的，但實際上實際圖像在整個顏色空間中是有壹定偏好的。如果我們利用這些先驗信息，我們可以得到更好的結果。
這個先驗包括非常流行的稀疏先驗假設，認為任何圖像都可以用壹個完整的字典稀疏表示，它的先驗就是字典表達式的稀疏性，也稱為稀疏編碼(SC)，如下式所示。
其中，圖像表示在字典下。
另壹個流行的先驗是全變差的約束先驗(TV)。這個先驗的想法來自於Rudin在文獻中提到的壹個經驗觀察:有噪圖像的方差絕對值之和遠大於無噪圖像的方差絕對值之和。因此，這可以作為壹種信息來約束優化。具體表述如下
在這些約束的作用下，濾波器更傾向於修復符合先驗(概率大)的圖像，而不是在整個空間內進行修復。對於具體問題，可以超越壹般算法。先驗越符合實際，效果就越好。
註意這些方法往往需要真值的壹些特征參數，包括像素值、邊緣主方向等等。由於噪聲的幹擾，這些參數本身成為隨機變量。之前已經出現了用小面片估計這些參數的方法，大大提高了估計的精度。此外，還有循環法，包括串聯濾波，使下壹次的參數基於上壹次濾波後更準確的結果，從而達到比上壹次更準確的最終估計值(偏差不斷變大，方差不斷變小)，殘差濾波，不斷挖掘濾波部分的高頻信息，疊加在最終結果上(偏差不斷變小，方差不斷變大)。它們不斷疊加的結果就是方差和偏差的權衡。當均方誤差(MSE)最小時，線性濾波器通過最優叠代最終演化為維納濾波器，達到線性最小均方誤差(LMMSE)的克拉美界。
基於稀疏三維變換域協同濾波的文檔圖像去噪提出了壹種新的濾波方法BM3D，該方法參考NLM在大範圍內搜索相似塊，在變換域進行濾波，考慮了塊間的空間位置關系和特征相似性，采用叠代的方法。下壹次得到的維納濾波器的參數估計更加準確，達到了經典濾波算法的藝術境界。這種方法非常復雜，不可能簡單地用數學表達式來表示權重參數。詳情請參考文獻。
這些傳統方法有壹個很大的缺陷，就是需要預先知道圖像的噪聲強度或者信噪比來估計壹些參數，這給實際應用帶來了很大的局限性。有時即使是同壹幅圖像中的噪聲強度也不是均勻的，而是不同的，這些方法都無法應對這種情況。更重要的是，它們是表達能力有限的淺層神經網絡。所以後來出現了使用神經網絡的方法。
未完待續。