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勾股定理:
勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。是壹個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的壹個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，作為壹個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。
在壹個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麽a的平方＋b的平方＝c的平方，即α*α+b*b=c*c
推廣：把指數改為n時，等號變為小於號
當三角形為鈍角時，哪麽a的平方+b的平方〈c的平方，即a*a+b*b〈c*c
當三角形為銳角時，哪麽a的平方+b的平方〉c的平方，即a*a+b*b〉c*c
據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年
勾股數：是指能組成a^+b^=c^的三個正整數稱為勾股數.
實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這壹定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這壹傳說引起過許多數學史家的懷疑。比如說，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們用13個等距的結把壹根繩子分成等長的12段，壹個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實。”不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據專家們考證，其中壹塊上面刻有如下問題：“壹根長度為 30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”這是壹個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另壹塊泥板上面刻著壹個奇特的數表，表中***刻有四列十五行數字，這是壹個勾股數表：最右邊壹列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，壹***記載著15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。
勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過壹本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（※關於勾股定理的詳細證明，由於證明過程較為繁雜，不予收錄。）
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾裏得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的壹個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。
從上面這壹定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。