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勾股定理驗證
三角學裏有壹個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經》提到，商高說過"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。
最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這裏B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經》中的“弦圖”。
下圖是H．珀裏加爾（Perigal）在1873年給出的證明，它是壹種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的，因為這種劃分方法，labitibn Qorra（826～901）已經知道。（如：右圖）下面的壹種證法，是H?E?杜登尼（Dudeney）在1917年給出的。用的也是壹種相加全等的證法。
下圖的證明方法，據說是L?達?芬奇（da Vinci, 1452～1519）設計的，用的是相減全等的證明法。
歐幾裏得（Euclid）在他的《原本》第壹卷的命題47中，給出了勾股定理的壹個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由於圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家兼天文學家婆什迦羅（Bhaskara，活躍於1150年前後）對勾股定理給出壹種奇妙的證明，也是壹種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；壹部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在壹起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，
婆什迦羅還給出了下圖的壹種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有
c/b=b/m，c/a=a/n, cm=b2 cn=a2 兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明，在十七世紀又由英國數學家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G?華盛頓曾經是壹個著名的測量員。T?傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A．林肯是通過研究歐幾裏得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是眾議院議員，五年後當選為美國總統）給出了勾股定理壹個漂亮的證明，曾發表於《新英格蘭教育雜誌》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD，交AB於L，連接BC，CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
而
所以
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成壹個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內部有壹個內接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD，作DH⊥CF於H，則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
壹方面，
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面，
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎完成壹個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）。可以證明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF於H，則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面，
S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
勾股定理是數學上證明方法最多的定理之壹——有四百多種證法！但有記載的第壹個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的壹種證法，屬於古希臘數學家歐幾裏得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》裏。在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了壹幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。於是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡後便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統壹、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了壹個典範。 以下網址為趙爽的“勾股圓方圖”： 以後的數學家大多繼承了這壹風格並且有發展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後壹點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的“青朱出入圖”：
勾股定理的應用非常廣泛。我國戰國時期另壹部古籍《路史後記十二註》中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使註東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水註入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。
勾股定理在我們生活中有很大範圍的運用.
如果需要圖的話，再說壹下
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