畢達哥拉斯定理的證明

勾股定理(勾股定理)是數學中證明方法最多的定理之壹——有400多種證明方法！但是第壹個有記錄的證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳了。目前能看到的最早證明屬於古希臘數學家歐幾裏德。他的證明是演繹推理的形式，記錄在數學巨著《幾何原本》中。在中國古代的數學家中，第壹個證明勾股定理的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創建了勾股方圖，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“畢達哥拉斯正方形圖”中，以弦為邊長的正方形ABDE是由四個相等的直角三角形加上中間的小正方形組成的。每個直角三角形的面積是AB/2；如果中間小正方形的邊長是b-a，面積就是(b-a) 2。那麽我們可以得到如下公式:4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2。簡化後可以得到:a 2 +b 2 =c 2，即c=(a 2 +b 2) (1/2)。趙爽的證明很獨特，很有新意。他用幾何圖形的切、割、拼、補來證明代數表達式之間的恒等式關系，既嚴謹又直觀，為中國古代獨樹壹幟的以形證數、以形統數、代數和幾何緊密結合、不可分割的風格樹立了典範。以下網站是趙爽的勾股方圖:=a2。

兩邊加起來

a2+b2=c(m+n)=c2

這個證明在17世紀被英國數學家J. Wallis (Wallis，1616 ~ 1703)重新發現。

幾位美國總統與數學有著微妙的聯系。g？華盛頓曾經是壹位著名的測量員。t？傑斐遜大力推動美國高等數學教育。林肯通過研究歐幾裏得的《幾何原本》來研究邏輯。更有創意的是第17任校長J.A .加菲爾德(Garfield，1831 ~ 1888)，他在學生時代就對初等數學有著濃厚的興趣和高超的天賦。1876，(當時是眾議員，5年後當選美國總統)給出了壹個漂亮的勾股定理證明，發表在《新英格蘭教育雜誌》上。證明的思路是利用梯形和直角三角形的面積公式。如下頁所示，它是由三個直角三角形組成的直角梯形。用不同的公式求相同的面積

也就是

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

這種證明往往是中學生學習幾何時感興趣的。

這個定理有很多巧妙的證明(據說有近400種)。下面給學生舉幾個例子，都是用謎題證明的。

證明1如圖26-2所示。在直角三角形ABC的外側，做正方形ABDE、ACFG和BCHK，它們的面積分別為c2、b2和a2。我們只需要證明壹個大正方形的面積等於兩個小正方形的面積之和。

通過C引出CM‖BD，將AB交叉到L，連接BC和CE。因為

AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

所以△ACE?△AGB

SAEML=SACFG (1)

同樣的方法也可以證明。

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2)

SABDE=SACFG+SBKHC，

即c2=a2+b2

證明2如圖26-3所示(圖趙)。用八個直角三角形ABC組成壹個大正方形CFGH，邊長為a+b，裏面有壹個內接正方形ABED，邊長為C，如圖所示。

SCFGH=SABED+4×SABC，

所以a2+b2=c2

證明3如圖26-4所示(梅文鼎地圖)。

在直角△ABC的斜邊AB上向外畫壹個正方形ABDE，在直角AC上畫壹個正方形ACGF。可以證明(略)擴GF必過E；將CG延伸到k，使GK=BC=a，連接KD，使DH⊥CF在h，則DHCK是邊長為a的正方形. set

五邊形的面積

壹方面，

S=平方ABDE面積+2乘以△ABC面積

=c2+ab (1)

另壹方面，

S=平方ACGF面積+平方DHGK面積

+2倍△ABC面積

=b2+a2+ab。(2)

源自(1)和(2)

c2=a2+b2

證明4如圖26-5(項名達圖)，在直角三角形ABC的斜邊上做了壹個正方形ABDE，在直角三角形ABC的兩個直角CA和CB的基礎上完成了壹個邊長為B的正方形BFGJ(圖26-5)。可以證明(略)GF的延長線必過d .將AG延伸到k，使GK=a，設EH⊥GF為h，則EKGH必是邊長等於a的正方形

設五邊形EKJBD的面積為s .壹方面

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

另壹方面，

S=SBEFG+2？S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

通過(1)，(2)

引出壹個論點

都是按面積驗證的:壹個大面積等於幾個小面積之和。用同壹面積的不同表示得到方程，然後簡化得到勾股定理。)見/21010000/VCM/0720 gdl。醫生。