三角法
[編輯此段落]名稱定義
研究平面三角形和球面三角形的角之間關系的數學學科。三角學是以研究三角形的邊和角的關系為基礎的學科，應用於測量，也研究三角函數的性質和應用。
[編輯此段]三角學的起源
三角學起源於古希臘。為了預測天體運行路線、計算歷法、導航等需要，古希臘人對球面三角形的角之間的關系進行了研究，掌握了球面三角形的兩條邊之和大於第三條邊、球面三角形的內角之和大於兩個直角、等邊角相等等定理。印度人和阿拉伯人也研究並推廣了三角學，但它主要用於天文學。在15和16世紀，三角學的研究轉移到平面三角形，以達到測量應用的目的。16世紀的法國數學家吠陀系統地研究了平面三角形。他出版了壹本關於應用於三角形的數學定律的書。從此，平面三角形從天文學中分離出來，成為壹個獨立的分支。平面三角學的內容主要有三角函數、解三角形和三角方程。
三角剖分在中國也很早就出現了，早在公元前100多年的《周並行算》經典中就有詳細的解釋。比如它的第壹章記載“周公曰:”妳是個很會說話的人，所以請用矩的方法。商高說，平矩是用直索，矩是壓制看高，復矩是測深，臥矩是知遠。”(商高所說的矩，就是今天工人使用的兩個邊垂直的正方形，而商高的大意是，把正方形放在不同的位置，就可以測出目標的高度、深度和寬度。)1世紀《九章算術》中有壹章專門講計量問題。
[編輯此段]三角學的歷史
早期的三角學並不是壹門獨立的學科，而是附屬於天文學，是壹種計算天文觀測結果的方法，所以最早是由球面學發展起來的。希臘、印度和阿拉伯數學中都有三角學的內容，但大部分都是天文觀測的副產品。比如亞歷山大的梅內利奧斯(公元100年)寫了《球學》，提出了三角學的基礎。五十年後，另壹位古希臘學者托勒密寫了《天文學》，該書初步發展了三角學。公元499年，印度數學家阿雅巴塔也表達了古印度的三角學思想。後來，伐羅訶密希羅(約505 ~ 587)首先提出了正弦的概念，並給出了最早的正弦表。公元10世紀的壹些阿拉伯學者進壹步討論了三角學。當然，所有這些作品都是天文學研究的壹部分。直到Nasir-Ud-deen(1201 ~ 1274)三角學才開始脫離天文學，成為壹門純數學。第壹個把三角學和天文學分開的數學家是雷喬蒙塔努斯(1436 ~ 1476)。
？雷喬蒙塔努斯的主要工作是研究各種三角形，完成於1464。這是歐洲第壹部獨立於天文學的三角學著作。***5卷，前2卷討論平面三角學，後3卷討論球面學，是三角學在歐洲傳播的源頭。雷喬蒙塔努斯早先也制作了壹些三角函數表。
？雷喬蒙塔努斯的工作為三角學在平面和球面幾何中的應用奠定了堅實的基礎。他死後，他的手稿在學者間廣為流傳並最終出版，對16世紀的數學家產生了相當大的影響，也對哥白尼等壹批天文學家產生了直接或間接的影響。
？英語單詞trigonometric是三角學，來自拉丁語tuigonometuia..最早由文藝復興時期的德國數學家皮蒂斯丘斯(B. Pitiscus，1561 ~ 1613)使用。他在1595出版的《三角學:求解三角形的簡明方法》中創造了這個詞。它的構圖方法是由“三角形”和“度量”兩個字組成的。測量的計算離不開三角函數表和三角公式，它們是作為三角學的主要內容而發展起來的。
？Rhaticus (G.J. Rhetucus，1514 ~ 1574)是16世紀第壹個制作三角函數表的奧地利數學家。1536年畢業於滕貝格大學，留校教授算術和幾何。1539年赴波蘭跟隨著名天文學家哥白尼學習天文學，1542年受聘為萊比錫大學數學教授。Rhaticus第壹次匯編了所有六個三角函數的表格，包括第壹個詳細的正切表和第壹個印刷的割線表。
17世紀對數發明後，三角函數的計算大大簡化。制作三角函數表不再困難，人們的註意力轉向了三角學的理論研究。但是，三角函數表的應用壹直占據著重要的地位，在科學研究和生產生活中發揮著不可替代的作用。
？三角公式是邊和角之間的關系，或者是三角形的邊和角之間的關系。三角函數的定義已經體現了壹定的關系，壹些簡單的關系古希臘人和後來的阿拉伯人都研究過。
？文藝復興後期，法國數學家F·維耶塔成為三角公式大師。他的《應用於三角形的數學定律》( 1579)是較早系統討論平面和球面的專著之壹。第壹部分列出了六個三角函數表，其中壹些用分數和度數隔開。給出了精確到5位數和10位數的三角函數值，還附上了與三角值相關的乘法表和商表。第二部分給出了表格的制作方法，並說明了三角形中河流線數量關系的運算公式。除了總結前人的成果，還補充了自己發現的新公式，如正切定律、和差積公式等。他把這些公式列在壹個總表中，這樣在任意給出壹些已知量後，就可以從表中求出未知量的值。這本書以直角三角形為基礎。對於斜三角形，大衛模仿古人的方法，把它變成了直角三角形。對於球面直角三角形，給出了完整的計算公式和記憶規則，如余弦定理。1591年，大衛得到了多個角的關系，1593年，用三角形法推導出余弦定理。
1722年，英國數學家德·莫伊弗爾得到了以他名字命名的三角學定理。
？(cosθ isinθ)n=cosnθ+isinnθ，
？證明了當n為正有理數時，該公式成立；在1748中，歐拉證明了當n為任意實數時，公式也成立，他還給出另壹個著名的公式。
？eiθ= cosθ+isθ，
？它對三角學的發展起到了重要的推動作用。
現代三角學始於歐拉對無窮分析的介紹。他用函數線與半徑的比值定義了單位圓和三角函數。他還創造了小寫的拉丁字母A、B、C來表示三角形的三條邊，大寫的拉丁字母A、B、C來表示三角形的三個角，從而簡化了三角公式，進壹步把三角學從研究三角形解轉化為研究三角函數及其應用，成為數學中比較完整的壹個分支。
[編輯本段]三角學的特點和應用
早期的三角學不是壹門獨立的學科，而是附屬於天文學，是壹種計算天文觀測結果的方法。因此，它首先是在球面學中發展起來的。希臘、印度和阿拉伯數學中都有三角學，但大多數都是天文觀測的副產品。直到13世紀，中亞數學家那蘇拉丁在總結前人成果的基礎上，寫了《完全四邊形》壹書。直到公元15世紀，三角學才從天文學中分離出來。德國人雷喬蒙塔努斯(J . Regio montan us，1436-1476)的《論三角形》的出版標誌著古代三角學正式成為壹門獨立的學科。這本書不僅包含非常精確的正弦表和余弦表，而且給出了現代三角學。
16世紀，法國數學家F. Viete (1540—1603)進壹步將三角學系統化。在他的第壹本關於三角學的書《應用於三角形的數學規則》中，有直角三角形和斜三角形的詳細解法(瑞士數學家L·歐拉(25438+08世紀)。1707-1783)，他首先研究了三角學，使三角學從原來的三角形研究的靜態解法中解放出來，成為壹門具有現代數學特征的學科，反映了現實世界中的壹些運動和變化。歐拉不僅用直角坐標定義了三角學，徹底解決了四象限三角學的符號問題，還引入了直角坐標。代數和幾何之間架起了壹座橋梁，數形結合為數學的學習和研究提供了重要的思維方式。著名的歐拉公式將人們原以為互不相關的三角函數和指數函數聯系起來，為三角學增添了新的活力。
所以三角學起源於測量實踐，經過長時間的醞釀，在眾多中外數學家的不斷努力下，逐漸豐富和演變成了現在的三角學。
[編輯本段]三角函數的計算方法
三角學中有六個三角函數，用幾何方法定義。在直角坐標系中，設以射線Ox為起始邊，OP為終止邊的角為θ，點P的坐標為(x，| op | = r，此時六比由θ的大小決定，都是θ的函數，稱為角θ的三角函數，分別記為角θ的正弦、余弦、正切、余切、割線、余切。Tg、ctg和csc也分別記為tan、cot和cosec。
相同角度的三角函數之間有三組運算關系，即
三角函數都是周期為2π的周期函數。
三角函數的基本恒等式是和角公式；
sin(a+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(a+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
從這兩個公式可以推導出差角公式、倍角公式、半角公式、和差積、和差公式。
當三角形的某些元素(邊和角)已知時，求解三角形，並找出剩余的未知元素。設三角形的三個角為A、B、C，它們的對邊分別為A、B、C，則有
正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R為同壹三角形中的常數，為該三角形外接圓半徑的兩倍)。
余弦定理:A2 = B2+C2-2bccosa是求解三角形的主要依據。
三角方程壹般指含有壹些三角函數的方程，三角函數的自變量含有未知數。由於每個三角函數都是周期函數，所以任何三角方程只要有解，就有無窮多個解。
三角測量
三角測量是指航海、測量和土木工程中精確測量距離和角度的技術，主要用於船舶或飛機的定位。它的原理是，如果已知壹個三角形的壹邊和兩個角，那麽另外兩個角就可以用平面三角學計算出來。在西方，古希臘著名數學家畢達哥拉斯首次證明了關於直角三角形的勾股定理，即中國的勾股定理，為幾何學的研究和應用做出了巨大貢獻。