波動方程和亥姆霍茲方程

波動方程或波動方程(英文:Wave equation)是壹種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種波動現象，包括橫波和縱波，如聲波、光波、無線電波、水波等。波動方程是從聲學、物理光學、電磁學、電動力學、流體力學等領域抽象出來的。歷史上許多科學家，如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利、拉格朗日等，在研究樂器和其他物體中的弦振動時，都對波動方程理論做出了重要貢獻。1746年，達朗貝爾發現了壹維波動方程，歐拉在隨後的10年發現了三維波動方程。

亥姆霍茲方程是描述電磁波的橢圓偏微分方程，以德國物理學家亥姆霍茲命名。亥姆霍茲方程通常出現在涉及具有空間和時間依賴性的偏微分方程的物理問題的研究中。由於與波動方程的關系，亥姆霍茲方程出現在物理學的電磁輻射、地震學和聲學研究領域。比如電磁場中的▽ ▽^2 E+k^2 E=0 = 0，▽ ▽^2 H+k^2 H=0 = 0稱為亥姆霍茲齊次方程，是簡諧場情況下e波和h波的波動方程。其中k 2 = μ ω 2 (ε-j σ/ω)為波數，忽略位移電流時，k2 =μεω2；上面的2是平方。數學上，相關書籍具有(嗻2+k2)ψ =f雙曲偏微分方程。其中2是拉普拉斯算子，在笛卡爾坐標系中；ψ是要求解的函數；K2是常數；f是源函數。當f等於零時，稱為齊次亥姆霍茲方程；f不等於零，稱為非齊次亥姆霍茲方程。在電磁學中，當函數任意時刻和諧變化時，波動方程轉化為亥姆霍茲方程。