函數概念的早期演變過程為：開始，x的函數僅只x的冪；接著，其涵義被拓廣為含x的代數式；之後，又從代數式拓廣到含x的任意解析式；最後，從任意解析式拓廣為依賴於x或由x所確定的任意變量。同時，壹元函數又被拓廣到了多元函數。
2.從約翰·伯努利到歐拉
1694年，約翰·伯努利提到函數是“由不定的量和常量所構成的某個量”。1718年，他首次明確提出函數的新定義：“壹個變量的函數是由該變量和壹些常量以任何方式組成的量。”
歐拉在約翰·伯努利的定義基礎之上，在《無窮分析引論》中首次用解析式來定義函數：“壹個變量的函數是由該變量和壹些數或常量以任何方式組成的解析式。”
1755年，歐拉在《微分基礎》中更新了函數的定義：“如果某些量依賴於另壹些量，當後面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為後面的量的函數。”
歐拉的“解析式”定義和“依賴關系”定義對後世產生了深遠的影響，19世紀中葉以前，它們壹直是函數定義的藍本。
3.百科全書中的函數定義
1757～1838年的歐美百科全書或數學詞典中，函數的解析式定義占有絕對統治地位。雖然歐拉已經定義了“代數函數”和“超越函數”，但各百科全書的有關作者並沒有相應的區分“代數式”和“超越式”，將“代數式”與壹般“解析式”混為壹談。只有德摩根對兩者進行了嚴格區分，他將我們今天所稱的代數函數稱為“普通代數函數”，其他函數均為超越函數。
4.函數定義演變過程（1855年以前）結論
（1）歐拉的“依賴關系”定義並未影響“解析式”定義的廣泛傳播。19世紀中葉以前，英、法、美等國的百科全書、微積分著作中的函數定義均以歐拉的兩個定義為藍本，解析式定義在1840年以前占統治地位，而在1840年以後逐漸退出歷史舞臺。
（2）19世紀中葉以前，柯西、傅裏葉、狄利克雷和黎曼相繼突破了歐拉定義的局限，但在相當長時間內，舊定義依然流行，現代定義從誕生到被普遍接受，經歷曲折艱難的過程。
（3）歷史上，函數定義在微積分、代數學教科書中表現出滯後現象。
（4）中文“函數”名稱源於函數的“解析式”定義，其誕生具有壹定的歷史偶然性。