1.可以為自然數定義加法和乘法。其中加法運算“+”定義為:
a+0 = a；
A+S(x) = S(a +x)，其中S(x)代表x的後繼。
如果我們定義S(0)為符號“1”，那麽B +1 = B+S (0) = S (b)，即“+1”運算可以找到任意自然數的後繼。
類似地，乘法運算“×”定義為:
a×0 = 0；
a × S(b) = a × b + a
自然數的減法和除法可以用與加法和乘法相反的方式來定義。
2.井然有序。自然數的有序性是指自然數可以從0開始排列成壹個數列，沒有重復或遺漏:0，1，2，3，…這個數列稱為自然數數列。如果壹個集合的元素能與壹個自然序列或自然序列的壹部分建立壹壹對應關系，我們就說這個集合是可數的，否則就是不可數的。
3.無限。自然數集是壹個無窮集，自然數序列可以寫不完。
對於無限集合，“元素個數”的概念不再適用，用數的方法比較集合中元素的個數只適用於有限集合。為了比較兩個無限集合中元素的個數，集合論的創始人德國數學家康托爾引入了壹壹對應的方法。
這種方法顯然適用於有限集，並在21世紀推廣到無限集，即如果兩個無限集的元素之間能建立壹壹對應關系，我們就認為這兩個集合的元素個數相同。
對於無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而是說兩個集合的基數相同，或者說兩個集合是等勢的。與有限集合相比，無限集合具有壹些特殊的性質。壹是它們可以與自己的真子集建立壹壹對應關系，比如:
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
也就是說，這兩組元素個數相同，或者說是等電位的。偉大的數學家希爾伯特曾用壹個有趣的例子來說明自然數的無窮性:如果壹家旅館只有有限的幾個房間，當它所有的房間都住滿時，經理將無法讓他和另壹位旅客住在壹起。
但是，如果這個酒店有無數個房間，而且都住滿了，經理還是可以安排這個旅客:他把1房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間...再這樣下去，1房間就空出來了。
4.傳遞性:設n1，n2，n3都是自然數，如果n 1 >；n2，n2 & gtN3，則n 1 >；n3 .
5.Trigement:對於任意兩個自然數n1，n2，存在且僅存在以下三種關系:n 1 & gt；N2，n1=n2或n1
6.最小數原理:任何自然數集的非空集合中必有壹個最小數。性質為3和4的數的集合稱為線性有序集。不難看出，有理數集和實數集都是線性有序集。
然而，這兩組數不具有性質5，例如所有形狀為nm (m >)的數；n，m，n都是自然數)是有理數集的非空集，並且在這個集合中沒有最小數；開區間(0，1)是實數集的非空子集，也沒有最小數。
性質為5的集合稱為良序集，自然數集是良序集。很容易看出，加0後的自然數集仍然具有上述性質3，4，5，即它仍然是線性有序集，是良序集。
擴展數據:
1，自然數列在“數列”中應用廣泛，因為在所有數列中，每壹項的序號都構成壹個自然數列。
任何數列的通項公式都可以看作是數列中每壹項的個數與其序號之間的壹種固定的數量關系。
2.計算N條射線能形成多少個角時，應用自然數列的前N項和公式。
第1條射線與其他射線形成(n-1)個角度，第2條射線與其他射線形成(n-2)個角度，以此類推得到公式。
1+2+3+4+……+n-1 = n(n-1)/2
3.在求壹條直線上有n個點有多少條線段時，自然數列的前n項和公式也適用。
第1點與其他點形成(n-1)條線段，第2點與其他點形成(n-2)條線段，以此類推。
1+2+3+4+……+n-1 = n(n-1)/2
任何自然數都可以代入以下公式，並且該公式始終成立:
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