分析下井字形。設圓的半徑為1,則面積為π,則每塊部分都是π/9。因此考慮圓心到弦的距離x,這個距離對於每根弦都是壹樣的。容易看出,中間正方形邊長為2x,則面積為4x?,得4x?=π/9,則x=√π/6。如果等面積,每根弦切出來的兩塊面積之比都應該正好是3:6。計算壹下弦切出來兩部分裏小的那塊面積,等於 arccos(√π/6)-√π/6 × √(1-π/36)=0.9887,不等於π/3=1.0472,所以不可能了。如果樓主不熟悉反三角函數arccos也沒關系,反正就是說:我們可以很精確地計算面積,但是殘念,算出來的結論是,井字形不可能做到均分9塊,這點我敢拍胸脯保證。
我雖然不能嚴格證明任意劃法皆無法均分,但是可以提供個思路。考慮每根弦切出來的面積之比,因為只能有1:8,2:7,3:6和4:5這四種可能,因此每根弦的長度其實也只有四種,因為弦越長,切出來的面積就越發平均。所以這麽壹來,其實若要能均分,可能性的擺法其實真的不多。
分析下4根弦的交點個數,因為4根弦要分9份,而且多1個交點,就能多切1塊出來,因此可以證明:需要不多不少正好4個交點,即平均下來,每根弦要和其他2根弦相交。如果正好每根弦有2個交點,其實由對稱性,其實就是井字形,已經證明不可能了。如果不是這樣,有根弦需要和其他3根都要相交,這根弦壹定是劃面積為4:5,然後其他3根各劃走1/4,得1/9,因為我已經提到,弦長的取值是很有限的,所以實質上擺法只有1種可能,而且是可以用計算機計算的,因為這些數比如π都是超越數,我覺得經過開根號,取反三角函數,劈劈啪啪壹堆計算後湊到1/9,基本是沒戲的。