求哥德爾不完全定理原文

最直接的具體內容是:第壹不完全性定理任何包含壹階謂詞邏輯和初等數論的形式系統都有壹個命題，這個命題在這個系統中既不能被證明，也不能被否定。第二不完全性定理如果系統S包含初等數論，當S沒有矛盾時，其不矛盾性不能在S中證明，具體如下:內容編輯第壹不完全性定理任何包含壹階謂詞邏輯和初等數論的形式系統都有壹個命題，在這個系統中既不能證明也不能否定。第二不完全性定理如果系統S包含初等數論，當S沒有矛盾時，其不矛盾性在S中無法證明2引入編輯悖論是邏輯矛盾。最古老的悖論是兩千多年前的“騙子悖論”。妳說它是偽命題，就可以推斷它是真命題，反之亦然。以其最簡單的形式，這個命題是不可證明的。這個悖論屬於語義悖論。悖論也有很多種，比如循環悖論。這裏我們就省略了。雖然《起源》的編輯們處理悖論已經有幾千年了，但是數學家們並不認為它們很可怕，因為它們與數學無關。直到20世紀，壹小部分聰明人才隱約意識到悖論中有壹些深奧的數學理論。事情要從文藝復興時期說起，當時笛卡爾、萊布尼茨等學者都想創造壹種理論來解決所有問題。萊布尼茨甚至設想用數學符號來表達邏輯，以後每次爭論都會用筆壹探究竟。事實證明，萊布尼茨對符號邏輯的建立起了巨大的作用。萊布尼茨太超前了，無法實現他的夙願。又過了200年，著名學者康托提出集合論，為統壹數學提供了壹線希望。集合論的出現為現代數學的發展提供了強有力的工具。就在數學家躊躇滿誌的時候，集合論出現了壹個悖論。康托爾本人發現了康托爾悖論(包含所有集合的集合是否存在？)，更嚴重的是羅素悖論，涉及壹個以自身為元素的集合。這被稱為“第三次數學危機”。後來這個定義被公理否定了，危機解決了。20世紀20年代，在集合論不斷發展的基礎上，偉大的數學家希爾伯特向全世界的數學家拋出了壹個宏大的計劃，其主要思想是建立壹套公理系統，使所有的數學命題都可以通過有限的步驟在原理上推導出來，被稱為公理系統的“完備性”。希爾伯特還要求公理系統保持“獨立性”(即所有公理相互獨立，使公理系統盡可能簡潔)和“不矛盾”(即相容，矛盾不能從公理系統中導出)。值得指出的是，希爾伯特公理並不是我們通常認為的那樣，而是已經完全形式化了。它們存在於壹個叫做元數學的分支中。元數學和壹般數學理論的關系有點像計算機中應用程序和普通文件的關系。希爾伯特的計劃確實取得了壹些進展，全世界的數學家都樂觀地認為數學大廈將很快建成。就在壹切越來越清晰的時候，突然晴天霹靂。1931在希爾伯特提出計劃後不到三年，年輕的哥德爾把希爾伯特的夢想變成了令人沮喪的噩夢。哥德爾證明了任何沒有矛盾的公理系統，只要包含初等算術的陳述，就壹定有壹個不可判定的命題，這個命題不能用這組公理來判斷。換句話說，“不矛盾”和“完整”是不能同時滿足的！這就是舉世聞名的哥德爾不完全性定理。4誤解編者由於哥德爾第壹定理，出現了很多誤解。我們舉幾個例子:這個定理並不意味著任何有意義的公理系統都是不完整的。這個定理假設壹個公理系統可以“定義”自然數。然而，並不是所有的系統都可以定義自然數，即使它們有包含自然數作為子集的模型。比如歐幾裏德幾何可以通過壹階公理化成壹個完整的體系(其實歐幾裏德的原始公理集已經非常接近壹個完整的體系了。公理的缺乏是如此直觀，以至於我們直到正式證明出現才註意到對它們的需要)。塔爾斯基證明了實數和復數理論都是完備的壹階公理系統。這壹理論應用於人工智能時，指出有些道理我們是可以分辨的，但機器僅靠壹階公理系統是無法知道的。然而，機器可以使用非壹階公理系統，例如實驗和經驗。推斷編輯不完全的結論影響了數學哲學和形式主義(用形式符號描述原理)中的壹些觀點。我們可以把第壹個定理解釋為“我們永遠找不到壹個能證明所有數學真理但不能證明任何謬誤的普適公理系統”。第二個定理下面的陳述更令人不安:如果壹個公理系統(強到足以證明基本算術公理)可以用來證明自身的相容性，那麽它就是不相容的。因此，為了建立系統S的相容性，必須構造另壹個系統T，但T中的證明並不完全可信，除非不使用S也能建立T的相容性，比如鋼琴公理對自然數的相容性可以在集合論中證明，但不能單獨在自然數論的範圍內證明。這給了大衛·希爾伯特著名的23個未解數學問題中的第二個否定的答案。理論上，哥德爾的理論還是留下了壹絲希望:或許可以給出壹個算法來判定壹個給定的命題是否不確定，這樣數學家就可以忽略這些不確定的命題。然而，可判定性問題的否定答案表明沒有這樣的算法。需要註意的是，哥德爾的理論只適用於強公理系統。“強”是指該理論包含足夠的算術來承載第壹個不完全定理證明過程的編碼。基本上，這需要系統形式化壹些基本的運算如加法和乘法，如在Robinson算術q中，壹些較弱的公理系統是相容的和完備的，如Presburger算術，它包括壹階邏輯的所有真命題和關於加法的真命題。公理系統可能包含無限個公理(如皮亞諾的算術)，但哥德爾定理要生效，必須有壹個有效的算法來檢驗證明是否正確。例如，所有在標準模型中為真的關於自然數的壹階陳述都可以分組到壹個集合中。這個公理系統是完整的；哥德爾定理之所以無效，是因為沒有有效的算法來決定任何壹個句子是否公理化。另壹方面，這個算法的不存在是哥德爾定理的直接結果。哥德爾定理不適用的另壹個特例是，所有關於自然數的語句都是先按長度排序，再按字典順序排序，從皮亞諾的公理集開始逐個遍歷列表。如果發現壹個陳述既不可證也不可證，它就作為公理加入。這樣得到的系統足夠完整、兼容、強大，但是不可遞歸枚舉。哥德爾本人只證明了上述定理的壹個弱版本；上述定理的第壹個證明是Russel在1936中給出的。基本上，第壹定理的證明是通過在形式公理系統中構造如下命題p =“此命題不可證明”來完成的。這樣看來，可以把它看作是騙子悖論的現代變種。如果公理系統是相容的，哥德爾證明了P(及其否定)在該系統中不可證。所以P是壹個真命題(P聲稱無法證明，但確實無法證明)，雖然其證明無法在系統中形式化。請註意，在系統中加入P作為公理並不能解決問題:擴展後的系統中會出現另壹個哥德爾語句。羅傑·彭羅斯(Roger penrose)聲稱，“機械可證”和“對人類看似真實”的區別表明，人類的智力不同於自然的無意識過程。這種觀點沒有被普遍接受，因為正如馬文·明斯基指出的，人類的智能有能力犯錯誤，並理解不相容和謬誤的句子。但馬文·明斯基透露，哥德爾私下告訴他，他認為人類有壹種直觀的方式來達到真理，但由於它不同於基於計算機的方法，人類可以知道什麽是真的，而不受他的定理的限制。對於定理揭示了人類超越形式邏輯的能力這壹觀點，我們也可以做如下評論:我們不知道P是否成立，因為我們不知道(也不可能知道)系統是否兼容。所以事實上我們不知道體制外的任何真相。我們能確定的只有壹個命題，要麽P在系統中無法證明，要麽系統不相容。這樣的命題之前已經在系統中得到證明。事實上，已經給出了這樣的證明。6影響編輯哥德爾的不完全性定理粉碎了數學家兩千年的信仰。他告訴我們，真理和可證性是兩個概念。能證明的壹定是真的，但不壹定是真的。從某種意義上說，悖論的陰影會壹直伴隨著我們。難怪大數學家威廉感嘆:“上帝之所以存在，是因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們無法證明這種相容性。“但是哥德爾不完全性定理的影響遠遠超出了數學的範疇。它不僅革新了數學和邏輯，也引發了許多具有挑戰性的問題，它還涉及到哲學、語言學、計算機科學甚至宇宙學。2002年8月17日，著名宇宙學家霍金在北京召開的國際弦理論會議上發表了題為《哥德爾與M理論》的報告，認為不可能建立壹個單壹的大統壹理論來描述宇宙，其理論基礎是哥德爾不完全性定理。有趣的是，在當今非常熱門的人工智能領域，哥德爾不完全性定理是否適用也成為討論的焦點。1961年，牛津大學的哲學家盧卡斯提出，根據哥德爾不完全性定理，機器不可能有人類的頭腦。他的觀點引起了許多人的反對。他們認為哥德爾不完全性定理與機器是否有頭腦無關，但哥德爾不完全性定理對人的局限性同樣適用於機器，這是事實。哥德爾不完全性定理的影響如此廣泛，難怪哥德爾會被視為當代最有影響力的智慧巨人之壹，被人們永遠銘記。美國《時代》雜誌曾評選出100位20世紀最偉大的人物。在數學家中，哥德爾名列第壹。