規範正交基是完備的規範正交系,設H為希爾伯特空間,H的完備的規範正交系F稱為H的規範正交基或正規正交基。
F的基數稱為希爾伯特空間H的維數,兩個維數相同的希爾伯特空間是等距同構的,規範正交基實際上是歐幾裏得空間中規範正交基的壹種推廣。
在數學中,特別是線性代數,具有有限維度的內積空間V的正交基是其向量的基,即它們都是單位向量並且彼此正交。例如,歐幾裏德空間Rn的標準基是正交基,其中內積是向量的點積。在旋轉或反射(或任何正交變換)下的標準基的映射也是正交的,並且R?的每個正交基都以這種形式出現。
規範正交基存在性
使用Zorn的引理和Gram-Schmidt過程(或更簡單的排序順序和無限次遞歸),可以顯示每個希爾伯特空間都承認了壹個基礎,從而得到了壹個正交基礎。
此外,相同空間的任何兩個正交基座具有相同的基數(這可以以類似於向量空間的通常維度定理的證明的方式被證明,並且取決於較大的基礎候選是可數的還是單獨的情況) 不)。 當且僅當它承認可數的正交基礎時,希爾伯特空間是可分離的。(可以證明這最後壹個陳述,而不使用公理的選擇)。
在功能分析中,正交基的概念可以推廣到任意(無限維)內積空間(或希爾伯特前空間)。給定希爾伯特前空間H,H的正交基是正交的向量集合,其特征在於H中的每個向量可以被寫為基於向量的無限線性組合。
在這種情況下,正交基礎有時被稱為H的希爾伯特基。註意,在這個意義上,正交基通常不是哈默爾基礎,因為需要無限線性組合。具體來說,基礎的線性跨度必須在H中是致密的,但它可能不是整個空間。