C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1）
通過這2個例子 看出
CM取N 公式 是種子數M開始與自身連續的N個自然數的降序乘積做為分子. 以取值N的階層作為分母
P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1
通過這2個例子
PMN＝從M開始與自身連續N個自然數的降序乘積 當N＝M時 即M的階層
排列、組合的本質是研究“從n個不同的元素中,任取m (m≤n)個元素,有序和無序擺放的各種可能性”.區別排列與組合的標誌是“有序”與“無序”.
解答排列、組合問題的思維模式有二：
其壹是看問題是有序的還是無序的?有序用“排列”,無序用“組合”；
其二是看問題需要分類還是需要分步?分類用“加法”,分步用“乘法”.
分 類：“做壹件事,完成它可以有n類方法”,這是對完成這件事的所有辦法的壹個分類.分類時,首先要根據問題的特點確定壹個適合於它的分類標準,然後在這個 標準下進行分類；其次,分類時要註意滿足兩條基本原則：①完成這件事的任何壹種方法必須屬於某壹類；②分別屬於不同兩類的兩種方法是不同的方法.
分步：“做壹件事,完成它需要分成n個步驟”,這是說完成這件事的任何壹種方法,都要分成n個步驟.分步時,首先要根據問題的特點,確定壹個可行的分步標準；其次,步驟的設置要滿足完成這件事必須並且只需連續完成這n個步驟後,這件事才算最終完成.
兩 個原理的區別在於壹個和分類有關,壹個與分步有關.如果完成壹件事有n類辦法,這n類辦法彼此之間是相互獨立的,無論那壹類辦法中的那壹種方法都能單獨完 成這件事,求完成這件事的方法種數,就用加法原理；如果完成壹件事需要分成n個步驟,缺壹不可,即需要依次完成所有的步驟,才能完成這件事,而完成每壹個 步驟各有若幹種不同的方法,求完成這件事的方法種類就用乘法原理.
在解決排列與組合的應用題時應註意以下幾點：
1．有限制條件的排列問題常見命題形式：
“在”與“不在”
“鄰”與“不鄰”
在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：
⑴“相鄰”問題在解題時常用“合並元素法”,可把兩個以上的元素當做壹個元素來看,這是處理相鄰最常用的方法.
⑵“不鄰”問題在解題時最常用的是“插空排列法”.
⑶“在”與“不在”問題,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置.
⑷元素有順序限制的排列,可以先不考慮順序限制,等排列完畢後,利用規定順序的實情求出結果.
2．有限制條件的組合問題,常見的命題形式：
“含”與“不含”
“至少”與“至多”
在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”.
3． 在處理排列、組合綜合題時,通過分析條件按元素的性質分類,做到不重、不漏,按事件的發生過程分步,正確地交替使用兩個原理,這是解決排列、組合問題的最基本的,也是最重要的思想方法.
提供10道習題供大家練習
1、三邊長均為整數,且最大邊長為11的三角形的個數為（ C ）
(A)25個 (B)26個 (C)36個 (D)37個
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解析
根據三角形邊的原理 兩邊之和大於第三邊,兩邊之差小於第三邊
可見最大的邊是11
則兩外兩邊之和不能超過22 因為當三邊都為11時 是兩邊之和最大的時候
因此我們以壹條邊的長度開始分析
如果為11,則另外壹個邊的長度是11,10,9,8,7,6,.1
如果為10 則另外壹個邊的長度是10,9,8.2,
（不能為1 否則兩者之和會小於11,不能為11,因為第壹種情況包含了11,10的組合）
如果為9 則另外壹個邊的長度是 9,8,7,.3
（理由同上 ,可見規律出現）
規律出現 總數是11＋9＋7＋.1＝（1＋11）×6÷2＝36
2、
（1）將4封信投入3個郵筒,有多少種不同的投法?
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解析 每封信都有3個選擇.信與信之間是分步關系.比如說我先放第1封信,有3種可能性.接著再放第2封,也有3種可能性,直到第4封, 所以分步屬於乘法原則 即3×3×3×3＝3^4
（2）3位旅客,到4個旅館住宿,有多少種不同的住宿方法?
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解析跟上述情況類似 對於每個旅客我們都有4種選擇.彼此之間選擇沒有關系 不夠成分類關系.屬於分步關系.如：我們先安排第壹個旅客是4種,再安排第2個旅客是4種選擇.知道最後壹個旅客也是4種可能.根據分步原則屬於乘法關系 即 4×4×4＝4^3
（3）8本不同的書,任選3本分給3個同學,每人壹本,有多少種不同的分法?
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解析分步來做
第壹步：我們先選出3本書 即多少種可能性 C8取3＝56種
第二步：分配給3個同學. P33＝6種
這 裏稍微介紹壹下為什麽是P33 ,我們來看第壹個同學可以有3種書選擇,選擇完成後,第2個同學就只剩下2種選擇的情況,最後壹個同學沒有選擇.即3×2×1 這是分步選擇符合乘法原則.最常見的例子就是 1,2,3,4四個數字可以組成多少4位數? 也是滿足這樣的分步原則. 用P來計算是因為每個步驟之間有約束作用 即下壹步的選擇受到上壹步的壓縮.
所以該題結果是56×6＝336
3、
七個同學排成壹橫排照相.
（1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種? （3600）
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解析
這個題目我們分2步完成
第壹步： 先給甲排 應該排在中間的5個位置中的壹個 即C5取1＝5
第二步： 剩下的6個人即滿足P原則 P66＝720
所以 總數是720×5＝3600
（2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種? （1440）
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解析
第壹步：確定乙在哪個位置 排頭排尾選其壹 C2取1＝2
第二步：剩下的6個人滿足P原則 P66＝720
則總數是 720×2＝1440
（3）甲不在排頭或排尾,同時乙不在中間的不同排法有多少種? （3120）
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解析特殊情況先安排特殊
第壹種情況：甲不在排頭排尾 並且不在中間的情況
去除3個位置 剩下4個位置供甲選擇 C4取1＝4, 剩下6個位置 先安中間位置 即除了甲乙2人,其他5人都可以 即以5開始,剩下的5個位置滿足P原則 即5×P55＝5×120＝600 總數是4×600＝2400
第2種情況：甲不在排頭排尾, 甲排在中間位置
則 剩下的6個位置滿足P66＝720
因為是分類討論.所以最後的結果是兩種情況之和 即 2400＋720＝3120
（4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種? （1440）
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解析相鄰用捆綁原則 2人變壹人,7個位置變成6個位置,即分步討論
第1： 選位置 C6取1＝6
第2： 選出來的2個位置對甲乙在排 即P22＝2
則安排甲乙符合情況的種數是2×6＝12
剩下的5個人即滿足P55的規律＝120
則 最後結果是 120×12＝1440
（5）甲必須在乙的左邊（不壹定相鄰）的不同排法有多少種?（2520）
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解析
這個題目非常好,無論怎麽安排甲出現在乙的左邊 和出現在乙的右邊的概率是壹樣的. 所以我們不考慮左右問題 則總數是P77＝5040 ,根據左右概率相等的原則 則排在左邊的情況種數是5040÷2＝2520
4、用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的數.
（1）能組成多少個四位數? （300）
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解析 四位數 從高位開始到低位 高位特殊 不能排0. 則只有5種可能性
接下來3個位置滿足P53原則＝5×4×3＝60 即總數是 60×5＝300
（2）能組成多少個自然數? （1631）
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解析自然數是從個位數開始所有情況
分情況
1位數： C6取1＝6
2位數： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
3位數： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100
4位數： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位數： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位數： 5×P55＝5×120＝600
總數是1631
這裏解釋壹下計算方式 比如說2位數： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先從不是0的5個數字中取2個排列 即C5取2×P22 還有壹種情況是從不是0的5個數字中選壹個和0搭配成2位數 即C5取1×P11 因為0不能作為最高位 所以最高位只有1種可能
（3）能組成多少個六位奇數? （288）
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解析高位不能為0 個位為奇數1,3,5 則 先考慮低位,再考慮高位 即 3×4×P44＝12×24＝288
（4）能組成多少個能被25整除的四位數? （21）
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解析 能被25整除的4位數有2種可能
後2位是25： 3×3＝9
後2位是50： P42＝4×3＝12
***計9＋12＝21
（5）能組成多少個比201345大的數? （479）
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解析
從數字201345 這個6位數看 是最高位為2的最小6位數 所以我們看最高位大於等於2的6位數是多少?
4×P55＝4×120＝480 去掉 201345這個數 即比201345大的有480－1＝479
（6）求所有組成三位數的總和. （32640）
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解析每個位置都來分析壹下
百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)
十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)
個位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)
總和 M＝M1+M2+M3=32640
5、生產某種產品100件,其中有2件是次品,現在抽取5件進行檢查.
（1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種? （152096）
解析 也就是說被抽查的5件中有3件合格的 ,即是從98件合格的取出來的
所以 即C2取2×C98取3＝152096
（2）“其中恰有壹件次品”的抽法有多少種? （7224560）
解析同上述分析,先從2件次品中挑1個次品,再從98件合格的產品中挑4個
C2取1×C98取4＝7224560
（3）“其中沒有次品”的抽法有多少種? （67910864）
解析則即在98個合格的中抽取5個 C98取5＝67910864
（4）“其中至少有壹件次品”的抽法有多少種? （7376656）
解析全部排列 然後去掉沒有次品的排列情況 就是至少有1種的
C100取5－C98取5＝7376656
（5）“其中至多有壹件次品”的抽法有多少種? （75135424）
解析所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多壹件次品情況的
C100取5－C98取3＝75135424
6、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺,則不同的取法***有（ ）
(A)140種 (B)84種 (C)70種 (D)35種
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解析根據條件我們可以分2種情況
第壹種情況：2臺甲＋1臺乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30
第二種情況：1臺甲＋2臺乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40
所以總數是 30＋40＝70種
7、在50件產品中有4件是次品,從中任抽5件,至少有3件是次品的抽法有__種.
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解析至少有3件 則說明是3件或4件
3件：C4取3×C46取2＝4140
4件：C4取4×C46取1＝46
***計是 4140＋46＝4186
8、有甲、乙、丙三項任務, 甲需2人承擔, 乙、丙各需1人承擔.從10人中選派4人承擔這三項任務, 不同的選法***有（ C ）
(A)1260種 (B)2025種 (C)2520種 (D)5040種
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解析分步完成
第壹步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4＝210
第二步：分配給甲乙並的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12種情況
則根據分步原則 乘法關系 210×12＝2520
9、12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查,若每個路口4人,則不同的分配方案***有__
C(4,12)C(4,8)C(4,4)
___種
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解析每個路口都按次序考慮
第壹個路口是C12取4
第二個路口是C8取4
第三個路口是C4取4
則結果是C12取4×C8取4×C4取4
可能到了這裏有人會說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數的時候,其實將這些分類情況已經包含了對不同路的情況的包含. 如果再×P33 則是重復考慮了
如果這裏不考慮路口的不同 即都是相同路口 則情況又不壹樣 因為我們在分配人數的時候考慮了路口的不同.所以最後要去除這種可能情況 所以在上述結果的情況下要÷P33
10、在壹張節目表中原有8個節目,若保持原有節目的相對順序不變,再增加三個節目,求***有多少種安排方法? 990
解析
這是排列組合的壹種方法 叫做2次插空法
直接解答較為麻煩,故可先用壹個節目去插9個空位,有P(9,1)種方法；再用另壹個節目去插10個空位,有P(10,1)種方法；用最後壹個節目去插11個空位,有P(11,1)方法,由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990種.
另先在11個位置中排上新添的三個節目有P(11,3)種,再在余下的8個位置補上原有的8個節目,只有壹解,所以所有方法有P311×1=990種.