唯恐避之不及的意思是：只怕來不及躲避。
唯：只
恐：害怕
唯恐：只怕
避：躲避
之：助詞，無實際意義
不：否定詞
及：來得及
不及：來不及
避之不及：狀語後置，意思是來不及躲避
整句連起來就是：唯恐避之不及。
這句是古漢語中會常出現的句子，或者說古漢語口語中也會經常出現的。
補充：
這裏面要說壹下古漢語的壹個常句式——狀語後置。常見的狀語後置如“青，取之於藍，而青於藍”。在古漢語中這是常見的語法形式，相對現代漢語來說，古漢語中，主謂賓定狀補與其中心詞的位置比較自由，所以才會有謂語前置、賓語前置、定語後置、狀語前置等用法，而現代漢語語法則比較規範了，定狀補壹般都在它該在的位置，但也有例外，現代漢語也保留了壹些古漢語的這些語法形式，壹般保留在壹些特定詞匯和成語裏。