[編輯本段]因式分解法
因式分解沒有通用的方法，初中數學教材主要介紹公因子法和公式法。競賽中有除法和加減法、分組分解和交叉乘法、待定系數法、雙交叉乘法、對稱多項式旋轉對稱多項式法、余數定理法、根式法、換元法、長除法、除法等。(其實就是把我們看到的問題復雜化了。)註意三原則1的分解要徹底。2最後的結果只有括號。3最終結果中多項式的第壹項系數為正(例如:-3x？+x=x(-3x+1))歸納法:1，上海理科版第七版教材公因子法。2.公式法。3.分組分解法。4、數法。x？+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 5。組合分解法。6，同方法7，交叉相乘。8.雙交叉乘法。9.匹配方法。10，項目拆分方法。11，替換方法。12，長除法。13，加減法。14，根法。15，鏡像法。16，主成分法。17，待定系數法。18，特殊值法。19，階乘定理法。
[編輯本段]基本方法
(1)公因子法
每壹項的公因數稱為這個多項式的每壹項的公因數。如果多項式的每壹項都有壹個公因子，就可以提出這個公因子，這樣多項式就可以轉化為兩個因子的乘積。這種分解因素的方法叫做提高公因子法。具體方法:當所有系數都是整數時，公因數公式的系數要取所有系數的最大公約數；字母取每壹項的同壹個字母，每個字母的索引取最小的數字；取最低次的同壹個多項式。如果多項式的第壹項為負，通常提出壹個“-”號，使括號中第壹項的系數變為正。提出“-”號時，應改變多項式的各項。口訣:找對公因子，壹次清理；全家搬走，留下1看家；負號要改，變形要看奇偶性。比如:-am+BM+cm =-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)= a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).註意:把2a+1/2換成2(a+1/4)不是公因數。
⑵公式法
如果把乘法公式反過來，有些多項式可以因式分解。這種方法叫公式法。平方差公式:a2-B2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式:a 22ab+b 2 =(a b)2；註:可以用完全平方公式分解因子的多項式壹定是三項式，其中兩個可以寫成兩個數(或公式)的平方和，另壹個是這兩個數(或公式)的乘積的兩倍。立方和公式:a3+B3 =(a+b)(a2-a b+B2)；三次差分公式:a3-B3 =(a-b)(a2+a b+B2)；完全立方公式:a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3。公式:a+b+c-3 ABC =(a+b+c)(a+b+c-a B- BC-ca)例如:a 2+4a。(3)因式分解技巧1。因式分解和代數表達式乘法是互易變形。2.掌握因式分解技巧:①方程的左邊必須是多項式；②因式分解的結果必須用乘積的形式表示；③每個因子必須是代數表達式，每個因子的次數必須低於原多項式的次數；④因式分解因子必須分解到每個多項式因子都不能再分解為止。註意:分解因子前要找到公因子，確定公因子前要考慮系數和因子。3.公因子法的基本步驟:(1)求公因子；(2)提出公因子，確定另壹個因子:①第壹步，先確定系數，再按照確定公因子的方法確定字母，找到公因子；(2)第二步，提出公因子，確定另壹個因子。註意確定另壹個因素。妳可以把原多項式除以公因式，得到的商就是提高公因式後的余數。也可以用公因式去掉原多項式的每壹項，求剩下的因式。(3)提取公因子後，另壹個因子的項數與原多項式相同。
[編輯此段]比賽中使用的方法
⑶分組分解法
群分解是求解方程的壹種簡單方法。讓我們學習這些知識。方程中有四個或四個以上的項可以分組，壹般的分組分解有兩種形式:二分法和三分法。比如:ax+ay+bx+by = A(X+Y)+B(X+Y)=(A+B)(X+Y)我們把AX和AY分成壹組，bx和BY分成壹組，利用乘法分配定律相互匹配，壹下子就解決了難點。同樣，這道題也可以做。ax+ay+bx+by = x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾個例子:1。5ax+5bx+3ay+3by解:= 5x (a+b)+3y (a)。2.x 3-x2+x-1解:=(x3-x2)+(x-1)= x2(x-1)+(x-1)=(。3.x2-x-y2-y解:=(X2-Y2)-(X+Y)=(X+Y)-(X+Y)=(X+Y)(X-Y-1)用二分法，然後用公式A2。
(4)交叉乘法
這種方法有兩種情況。(1)x2+(P+Q)X+PQ公式的因式分解這類二次三項式的特點是:二次項的系數為1；常數項是兩個數的乘積；線性項的系數是常數項的兩個因子之和。所以我們可以直接因式分解壹些系數為1:x ^ 2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)的二次三項式項。②若有k=ac，n=bd，則kx 2+MX+n = (AX+B) (CX+D)。圖示如下:以a b × c d為例，因為1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，而2 -
5]拆分和添加項目的方法
這種方法是指把壹個多項式的壹項拆開或把兩項(或幾項)彼此相反的項填滿，使原公式適合於通過提高公因式法、利用公式法或分組分解法進行分解。需要註意的是，變形必須在與原多項式相等的原則下進行。比如:BC(B+C)+CA(C-A)-AB(A+B)= BC(C-A+A+B)+CA(C-A)-AB(A+B)= BC(C-A)+BC(A+B)+CA(。+(BC-ab)(a+b)= c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)。
[6]匹配方法
對於壹些不能用公式法的多項式，可以用完全平坦的方式擬合，然後用平方差公式進行因式分解。這種方法稱為匹配法。屬於拆項補項法的特例。還需要註意的是，變形必須在與原多項式相等的原則下進行。例如:x2+3x-40 = x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5)。
階乘定理的應用。
對於多項式f(x)=0，若f(a)=0，則f(x)壹定含有因子x-a，例如，若f (x) = x 2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x 2+5x+6的因子。(其實x 2+5x+6 = (x+2) (x+3)。)註:1，對於所有系數都是整數的多項式，若x = q/p(p，q為互質整數時)，多項式值為零，則q為常數項除數，p為最高次項系數除數；2.對於多項式f (a) = 0，其中b是最高次的系數，c是常數項，則a是c/b除數。
替代法。
有時候在因式分解的時候，可以選擇多項式的相同部分，用另壹個未知數替換，然後因式分解，最後再轉換回來。這種方法叫做替代法。註意:換完人民幣別忘了還。比如分解(x ^ 2+x+1)(x ^ 2+x+2)-12時，可以使y = x ^ 2+x，那麽原公式=(y+1)(y+2)-12 = y ^ 2+3y+2-12 = y ^ 2+3y-10 =(y+5)(y-2)=。
(9)尋根法
設多項式f(x)=0，求其根為x1，x2，x3，...xn，則該多項式可分解為f (x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3)...(x-xn)。例如，在2x的分解中。設2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 = 0，那麽通過綜合除法可以知道，這個方程的根是0.5，-3，-2，1，所以2x 4+7x 3-2x 2-13x。
⑽形象法
設y=f(x)，作函數y=f(x)的像，求函數像與X軸的交點，x1，x2，x3，…xn，...Xn，則該多項式可因式分解為f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2)。比如x ^ 3+2x ^ 2-5x-6分解時，可以使y = x ^ 3；+2x 2-5x-6。作其像，與X軸的交點為-3，-1，2為x3+2x 2-5x-6 =(X+1)(X+3)(X-2)。
⑾主成分法
首先選擇壹個字母作為主元素，然後按照字母的個數從高到低排列項目，再進行因式分解。
⑿特殊價值法
將2或10代入X，求出數P，將數P分解為質因數，適當組合質因數，將組合後的各因數寫成2或10的和與差，將2或10化簡為X，從而得到因式分解。比如在x ^ 3+9x ^ 2+23x+15的分解中，設x=2，那麽x ^ 3+9x ^ 2+23x+15 = 8+36+46+15 = 105，就會是即105 = 3× 5× 7。註意多項式中最高項的系數是1，而3，5，7分別是x+1，x+3，x+5。當x=2時，值為x 3+9x 2+23x+。
[13]待定系數法
首先判斷因式分解因子的形式，然後設置相應代數表達式的字母系數，求出字母系數，從而分解多項式因子。比如分解x 4-x 3-5x 2-6x-4時，分析表明這個多項式沒有壹次因子，所以只能分解成兩個二次因子。所以設x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+ax+B)(x2+CX+d)= x4+(a+c)x3+(AC+B+d)x2+(ad+BC B = 1，c=-2，d =-4。那麽x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+x+1)(x2-2x-4)。也可以參考右圖。
[14]雙交叉乘法。
雙叉乘法屬於因式分解的壹種，類似於叉乘法。雙交叉乘法是二元二次六次方。初始公式如下:ax ^ 2+bxy+cy ^ 2+dx+ey+FX，y為未知數，其余為常數。並舉例說明如何使用。舉例:因式分解:x2+5xy+6y 2+8x+18y+12。解析:這是壹個二次六元組，可以考慮用雙叉乘法進行因式分解。解法:如下圖所示，將所有數字交叉連接得到原公式= (x+2y+2) (x+3y+6)。雙叉乘法的步驟如下:①首先用叉乘法分解二次項，如叉乘法圖形中的x2+5xy+6y ^ 2 =(x+22)。②根據壹個字母(如Y)的第壹個系數給常數項打分。比如交叉相乘的圖②中的6y？+18y+12 =(2y+2)(3y+6)；③按另壹個字母(如X)的第壹個系數查，如十字乘法圖③。這壹步不能省略，否則容易出錯。[15]利用根與系數的關系因式分解二次多項式。對於二次多項式ax 2+bx+c(a≠0)ax 2+bx+c = a[x 2+(b/a)x+(c/a)x]。當△ =
[編輯本段]多項式因式分解的壹般步驟:
(1)如果多項式項有公因子，那麽先提公因子；(2)如果沒有公因子，那就嘗試用公式和交叉乘法來分解；(3)如果以上方法無法分解，可以嘗試分組、拆分、添加條目的方式進行分解；(4)必須進行因式分解，直到每個多項式因式分解都不能再分解為止。也可以用壹句話來概括:“先看有沒有公因數，再看有沒有公式。試試十字乘，分組分解要合適。”幾個例子1。分解因子(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2。解:原公式=(1+)x2(1-y)-2x 2(1+y)(補碼)=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(65438)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-2解:原公式=(x 5+3x 4y)-(5x-5x 2y 2(x+3y)+4y 4(x+3y)=(x+3y)(x 4-5x 2y 2+4y 4)=(x+3y)(x 2-4y 2)當y=0時，原公式= x 5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，33不能分成四個以上不同因子的乘積，所以原命題成立。3.△ ABC的三邊A、B、C有如下關系:-C 2+A 2+2AB-2BC = 0。證明這個三角形是等腰三角形。解析:此題本質上是對關系等號左邊的多項式進行因式分解。證明:∫-C2+a2+2ab-2bc = 0，∴ (a+c) (a-c)+2b (a-c) = 0。∴ (a-c) (a+2b+c) = 0。4.因式分解-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。解:-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)=-6x n×y(。
【編輯此段】因式分解四註:
因式分解中的四點，可以用四句話概括如下:第壹項為負且常為負，每壹項為“公”且第壹項為“公”，某壹項為1，括號內分為“底”。下面的例子可以借鑒:例1分解-A2-B2+2ab+4。解:-A2-B2+2AB+4 =-(A2-2AB+B2-4)=-(A-B+2)(A-B-2)這裏的“負”就是“負號”的意思。如果多項式的第壹項為負，壹般需要提出壹個負號，使括號中第壹項的系數為正。防止學生出現-9 x2+4 y2 =(-3x)2-(2y)2 =(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x+2y)兩個例子-12x2nyn+18xn。解:-12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1 =-6 xnyn-1(2 xny-3xy 22+1)其中“男性”的意思是“男性”。如果多項式的每壹項都包含壹個公因子，首先提取這個公因子，然後進壹步分解這個因子；這裏的“1”是指當多項式的壹整項都是公因式時，先提出這個公因式，不要漏掉括號裏的1。必須進行因式分解，直到每個多項式因子都不能再分解為止。也就是分解到最後，而不是半途而廢。其中包含的公因子要壹次性“幹凈”，不留“尾巴”，每個括號中的多項式不能再分解。防止學生出現4x4y 2-5x2y 2-9 Y2 = Y2(4x 4-5x 2-9)= Y2(x2+1)(4x 2-9)等錯誤。考試要註意:對實數沒有解釋的時候，壹般只對有理數解釋就夠了。如果有對實數的解釋，壹般都要求助於整數！從這個角度來說，因式分解中的四個註意貫穿了因式分解的四個基本方法，與因式分解的四個步驟或壹般思維順序的四句話是壹脈相承的:“先看有沒有公因式，再看能不能成立壹個公式，試試十字乘法，群分解要合適”。