需要補充的是，三角形也有邊心。通常將三角形的重心、外心、吊心、內心和側心稱為三角形的五心。
壹、三角形重心定理
三角形三條邊的中線相交於壹點。這個點叫做三角形的重心。
三條中線相交於壹點可以用燕尾定理證明，非常簡單。
(重心本來是壹個物理概念。對於厚度相等、質量均勻的三角形薄板，其重心正好是這個三角形的三條中線的交點，因此而得名。)
重心的性質:
1，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2 1。
2.重心與三角形任意兩個頂點形成的三個三角形的面積相等。即重心到三邊的距離與三邊的增長成反比。
3.從重心到三角形三個頂點的距離的平方和最小。
4.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均值。
即其重心坐標為((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。三、三角形垂直中心定理
三角形的三個高度相交於壹點，該點稱為三角形的垂直中心。
心臟的本質:
1，壹個三角形的三個頂點和三個垂足，而這七個點可以得到六個四點圓。
2.外心O、重心G、垂心H的三角形三點* *線，OG: GH = 1: 2。
(這條線叫做三角形的歐拉線。)
3.從垂直中心到三角形頂點的距離是從三角形外中心到頂點對邊的距離的兩倍。
4.每條高線兩部分的乘積相等。
定理證明
已知在δABC中，AD和BE是兩個高度，它們相交於o點，連接CO並延伸AB在f點的交點驗證:CF⊥AB.
證明:
連接de≈ADB =∠aeb = 90度∴A，b，d和E * * *圈∴∠ADE=∠ABE.
∠∠eao =∠DAC∠AEO =∠ADC ∴δaeo∽δadc
∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
∠∠Abe+∠BAC = 90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴∴ CF ⊥ AB。
所以，豎心定理成立！第四，三角形內定理
三角形內切圓的中心叫做三角形的心。
內在本質:
1，三角形的三條平分線相交於壹點。這個點是三角形的中心。
2.從心到直角三角形邊的距離等於兩條直角邊之和減去斜邊之差的壹半。
3.p是δABC平面上的任意壹點，點0是δABC的內心當且僅當:
向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)。
4.o是三角形的心，A、B、C分別是三角形的三個頂點。如果AO交點BC邊延伸到N，將有
AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5.點O為平面ABC上任意壹點，點I為△ABC的充要條件為:
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
6.(歐拉定理)⊿ABC，其中r和r分別是外接圓和內切圓的半徑，o和I分別是外中心和內中心，則oi ^ 2 = r ^ 2-2rr。
7.(內角平分線分為三條邊)
△ABC中，0為心，∠A，∠B，∠C的內角平分線分別與BC，AC，AB相交於Q，P，R。
那麽bq/QC = c/b，CP/pa = a/c，br/ra = a/B .二、三角形偏心定理。
三角形外接圓的中心叫做三角形的外中心。
外部世界的本質:
1.三角形三條邊的垂直平分線相交於壹點，該點是三角形的外圓心。
2.若O為△ABC的外中心，∠BOC=2∠A(∠A為銳角或直角)或∠ BOC = 360-2 ∠ A (∠ A為鈍角)。
3.當三角形是銳角三角形時，外圓心在三角形內部；
當三角形為鈍角三角形時，外圓心在三角形之外；
當三角形是直角三角形時，外中心在斜邊上，並與斜邊的中點重合。
4.要計算震中的坐標，首先要計算以下臨時變量:d1，d2，d3是三角形的三個頂點分別與另外兩個頂點相連的向量的點乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，C3 = d 1 D2；c=c1+c2+c3 .
偏心坐標:((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。
5.從外部中心到三個頂點的距離是相等的。5.三角形近心定理
三角形的切圓(與三角形壹條邊和另外兩條邊的延長線相切的圓)的中心稱為三角形的邊心。
側中心的性質:
1，三角形的壹個內角的平分線和另兩個頂點的壹個外角的平分線相交於壹點，這壹點就是三角形的邊中心。
2.每個三角形都有三個邊心。
3.側中心到三邊的距離相等。
三角形任意兩個角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。
三角形有三個邊心，而且壹定在三角形之外。
附:三角形的中心:只有正三角形才有中心。此時重心、內心、外心、吊心、四心融為壹體。關於三角形五顆心的詩:三角形五顆心之歌(側重於外部和內部)
三角形有五個心，壹個向外懸，壹個向內懸。
五心的性質很重要，所以認真掌握混淆，專註於心很重要。
三條中線壹定相交，相交位置真的很奇怪。
交點命名為“重心”，重心的性質要明確。
在重心分割中，可以聽到線段與幾段的比值；
長短比是二比壹，所以要靈活運用，掌握好。
外部心臟
三角形有六個元素，三個內角有三條邊。
使三條邊中間垂直，三條線相交於壹點。
這個點定義為震中，可以作為外接圓。
別忘了內外心，關鍵是切入和切出。
懸心
如果三角形是三個高點，那麽這三個高點必須交叉。
高線分三角形，有三對直角。
有十二個直角三角形，形成六對相似的形狀。
* * *圖中有四點，仔細分析可以發現很清楚。
內心
壹個三角形對應三個頂點，每個角都有壹條平分線。
三條線的交點有壹個* * *點，叫“內心”，有根；
到三邊的點都是等距的，可以作為三角形的內切圓。
這個圓圓的心叫“內心”，自然要下定義。
別忘了五心的本性，開始做題真的很好。