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如何證明采樣定理？
在模擬/數字信號轉換過程中，當采樣頻率fs不小於信號中最高頻率fmax的兩倍時，即fs》:= 2 fmax時，采樣後的數字信號完全保留了原始信號中的信息。
這怎麽可能呢？只有在壹個周期內對最高諧波采樣兩次，才能得到頻率相同的方波頻率。它沒有失真，但振幅發生了變化。因為采樣信號不壹定達到最高電平，所以無法確定原始信號的電平值...原始信號的電平值丟失。...
妳讀過奧本海姆的教科書，其中說特殊信號可以在這樣的離散收集後完全恢復。
我沒有仔細看妳的帖子。我不知道妳是否也懷疑不是所有的信號都可以恢復，例如雜亂和完全不規則的信號。確實如此。
但實際上，我們都面臨著滿足狄利克雷條件的三角諧波，因此它們總是可以被約化。
至於證明，任何信號與系統教科書都應該涉及到。簡而言之，信號乘法對應於頻譜偏移，如果偏移的頻譜重疊，則無法在不失真的情況下恢復。
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只有滿足狄利克雷條件，才能進行傅裏葉變換。
雖然承認任何函數都可以傅裏葉分解為簡諧函數，但采樣時並不采集簡諧函數的幅值和頻率。我知道它可以恢復，但振幅會失真。
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可以確定的是，如果是沖擊采樣，則具有不同振幅的那些采樣點的高度也相應地變化。
狄利克雷條件
我記得有三個條件。
具有有限個間斷點的絕對可積。妳還忘了什麽？
傅裏葉級數分析的條件:
當傅立葉提出傅立葉級數時，他堅持認為任何周期信號都可以展開成傅立葉級數。盡管這壹結論在當時引起了很大的爭議，但持不同政見者無法給出有力的不同論點。直到20年後（1829），德·雷切利才就這個問題給出了令人信服的答案。De Rychly認為，只有在滿足某些條件時，周期信號才能展開為傅裏葉級數。這壹條件被稱為德賴克利條件，其內容如下
（1）在壹個周期內，周期信號x（t）壹定是絕對可積的；
⑵在壹個周期內，周期信號x（t）只能有有限個最大值和最小值；
（3）在壹個周期內，周期信號x（t）只能有有限個不連續點，x（t）的函數值在這些不連續點上必須是有限的。
嗯，妳應該是說在某些地方，原始函數的振幅由於采樣而泄露了。
所以恢復起來不壹定是屎。
其實在時域上挺麻煩的。
如果在恢復期間在每個采樣點考慮理想情況，
當每個采樣點恢復時，該采樣點將成為固定函數。
如果是純理想狀態h（T）=（sin pit/T）/（pit/T），則每個采樣點都變成這個函數的形式，最大值就是采樣點的值。這個函數類似於余弦函數，它是波動的。在h（0）處，函數的最大值定義為1 |t|。波動越松弛，似乎余弦函數衰減，每個點都變成這樣。這個原函數是確定的。
當妳用數學方法寫的時候，
y【T】= x【n】sin【pi（T-nT）/T】/{【pi（T-nT）】/T }
x【n】是采樣信號T由采樣頻率確定的周期。
所謂的y【t】= x【t】
這個h（t）是理想“門函數”在頻域中的逆傅裏葉變換，也就是說他的傅裏葉變換是壹個門函數，但實際上不可能有理想的門函數。
其實我也不是特別懂這個東西的原理。如果從時間域來看，它是特別復雜的。壹般這個東西是從頻域做的，時域我也有所了解。
可能還有另壹個問題，就是會根據采樣規律對不同的信號進行采樣嗎？
如果不同的信號采樣相同，很明顯之前的壹切都有問題，合理的是不應該出現相同的情況
這個問題在頻域很好解釋，在時域我不太理解。關鍵是時域變成了無限正交信號的疊加，然後我們還要考慮基波處的采樣定理奈奎斯特頻率等等。
理解起來太麻煩了
當妳用數學方法寫的時候，
y【T】= x【n】sin【pi（T-nT）/T】/{【pi（T-nT）】/T }
x【n】是采樣信號T由采樣頻率確定的周期。
所謂的y【t】= x【t】
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我寫錯了。
y【t】= n從負無窮大到正無窮大的和x【n】sin【pi（t-nt）/t】/{【pi（t-nt）】/t }
帶寬有限的信號的傅立葉級數可以寫為
f（x）= A0+a1 * cos（x）+b 1 * sin（x ）+...+a（T）* cos（Tx）+b（T）* sin（Tx）
由於帶寬有限，f（x）展開後只有上述2T+1項。
對於信號重建，上述系數A0、A1、B1、...，A（t）、B（t）應根據采樣點獲得。
只有2T+1個未知數。換句話說，只要知道上述系數，就可以完全重構信號。
這裏系數都是線性的，所以系數未知的方程是線性方程，每個采樣點可以給出壹個關於系數的線性方程。只要有2T+1個采樣點，就可以構造2T+1個方程。通過求解方程，可以確定2T+1系數。
因此，對於最高頻率為2pi/T的有限帶寬信號，只需要2T+1個采樣點，理論上可以完全重構信號。
這就是抽樣定理的基本思想和內容，就這麽簡單。
香農定理的嚴格證明不是這個，但這個可以解釋問題的本質。對於帶寬有限的信號，只需用其在基函數中生長的空間坐標來表示。