群體決策的不可能定理和多數原則
胡裕達
群體決策是決策科學中壹門具有悠久研究歷史和現代應用價值的學科。它研究如何將壹個個體群體中的每個成員對某類事物的偏好聚合成群體偏好，以便群體可以對這類事物中的所有事物進行排序或從中選擇最佳的事物。作為壹種選擇手段，群體決策是處理重大定性決策問題的有力工具。
K.阿羅不可能定理是群決策中序數理論的基礎，少數服從多數的多數法則是群決策中應用最廣泛和最重要的方法。本文旨在介紹群體決策中的這兩個基本內容。
群體決策問題
在現代，任何民主社會制度都應盡可能滿足每個成員的需求。然而，在壹個社會群體中，由於成員之間總是存在價值觀的差異和個人利益的沖突，他們難免會對各種事物有不同的偏好態度。將許多不同的個體偏好聚集成壹個群體偏好並據此對某些事物做出群體選擇，是當今社會處理各種重要決策和分配問題的有效手段。自第二次世界大戰以來，在現代民主社會中，民主政治和市場經濟是社會發展的兩個基本主題。民主政治的主要形式是投票，市場機制即貨幣投票是典型的群體決策問題。
在我國，各級人民代表的選舉是壹個群體決策問題。在市場經濟體制下，消費者購買某類商品也是壹個群體決策問題。此外，如投資項目招標、職稱評定、文化體育比賽排名和軍事參謀團決策等。，都是群體決策問題的例子。
壹個群體決策問題包含兩個要素:壹個是要選擇的對象，稱為備選方案，如選舉中的候選人、購物中的品牌商品或文化體育比賽中的選手；另壹種是參與決策的成功，即決策者或決策個人，如選舉中的選民、購物中的顧客或文化和體育比賽中的評委。當然，任何群體決策問題都應該至少有兩個備選方案和至少兩個決策個體。群體決策的問題是:決策者提供自己對備選方案的偏好，並根據壹定的規則聚集成群體偏好，並據此對所有備選方案進行群體偏好排序或從中選擇。
群置換規則和不可能定理
對於理性群體決策來說，顯然應該首先要求每個決策者對所有的備選方案進行排序，即每個個體偏好在備選方案集中應該具有以下三個性質:反身性，認為任何選項X都不會比自己差；傳遞性，如果X不比Y差，Y不比Z差，那麽X不應該比Z差；完備性，對於任意兩個方案X和Y，都要考慮要麽X不比Y差，要麽Y不比X差，二者必有壹處。將來，滿足這三個性質的偏好被稱為備選方案集上的弱序或偏好序。然而，即使每個個體偏好是備選方案集上的偏好順序，由某個群體決策規則生成的群體偏好也不壹定是備選方案集上的偏好順序。為了使群體偏好對方案集中的所有備選方案進行排序，我們將使群體偏好成為方案集上的偏好序（即自反性、傳遞性和完備性）的群體決策規則稱為備選方案集上的群體可調度規則。
在1951中，阿羅提出壹個合理的群體可履行規則（他用福利經濟學的術語稱之為社會福利函數）應滿足壹組理性條件（或阿羅公理）【1，2】，包括:正相關條件、無關方案的獨立條件、帕萊托原則和非專制條件。
以選舉問題為例，正相關條件要求，如果所有選民都認為候選人X和Y不比第壹次差，並且其他候選人之間的情況保持不變，那麽如果第壹次投票的結果是X比Y好，那麽第二次投票的結果也應該是X比Y好..獨立方案的獨立性條件表明，如果所有選舉人在兩次投票中對任意壹對候選人X和Y的態度相同，則對於兩次投票的結果，他們之間的關系應該相同，即X和Y之間的排名關系與他們以外的候選人無關。帕萊托原則意味著如果所有投票人都認為候選人X比Y好，投票結果應該是X比Y好..非專制條件要求選民中不存在這樣的獨裁者，即不管別人的態度如何，只要他認為候選人X比Y好，選舉結果就是X比Y好。
群體決策中最常用的規則是群體中大多數人的偏好是群體偏好。
阿羅的四個條件是對壹個理性團體的排兵布陣規則的適當而合理的要求。阿羅給出了兩個定理，分別闡述了
當方案數為2且不小於3時，滿足有理條件的組可調度規則的存在性。兩種方案的可能性定理表明，
當只有兩個選擇時，無論個體偏好順序如何選擇，大多數規則都是壹組可調度規則，並且它們同時滿足。
正相關、不相關方案的獨立性、帕萊托原則和非專制條件。然而，壹般情況下的不可能性定理證明了當
當備選項不少於三個時，如果不加限制地任意選擇個人偏好順序，則不存在能同時滿足四個條件的群體。
規則【1-4】。據此，壹些西方學者認為，從某種意義上說，上述兩個定理是英美兩黨制的邏輯基礎。與此同時，
壹些經濟學家還認為，在商品多樣化的現代社會中（即可供選擇的商品遠遠多於三種時），不可能有完美的市場經濟。
系統。
多數決原則和投票悖論
上面介紹的大多數規則都是群體決策中最典型和研究最多的規則。為了研究實際功能
看兩個例子。
示例1有四種水果可供選擇:蘋果、梨、桃和棗，以及三個決策者:DM1、DM2和DM3。記住PR（r = 1，2
，3）是DMr的嚴格偏好（即xPry表示DMr認為水果X比水果Y更好），Ir是DMr的無差別（xIry表示DMr認為。
水果X和Y沒有區別），Rr=Pr∪Ir是DMr的偏好。現在，讓我們假設三個決策者各自提供了不同水果的個人偏好順序，例如
接下來:
DM1:蘋果P1桃P1梨I1棗
DM2:梨P2桃P2蘋果P2棗
DM3:梨P3蘋果I3桃P3棗
讓我們看看如何通過多數原則得到G={DM1，M2，DM3}組對四種水果的偏好排序。根據上面提供的個人偏好排名，對於蘋果和梨，三個人中有壹個人比梨好，兩個人比蘋果好，因此結果是梨比蘋果好。對於蘋果和桃子，三者中，蘋果比桃子好，桃子比蘋果好，第三個是蘋果和桃子不分彼此，所以三個人的綜合結果是沒有區別。其余的，蘋果比棗好，梨比桃好，梨比棗好，桃比棗好。綜合上述結果，得出G對四種水果的群體偏好順序為梨第壹，蘋果和桃子第二（它們彼此無差異），大棗第三。
在例2中，三個人A、B和C被要求對三種水果進行投票:蘋果、梨和桃子。各種水果的個人喜好排列如下:
答:蘋果P1梨P1桃。
梨P2桃P2蘋果
桃P3蘋果P3梨
根據大多數規則，對於蘋果和梨，A和C認為蘋果比梨好，而B持有相反的意見，因此該組是蘋果比梨好；同時，根據相同的規則，梨比桃好，桃比蘋果好。此時，三種水果的群體偏好排序出現了循環排序現象，因此群體無法得到區分各方案優劣的結果。在1882中，E.J.Nanson舉了壹個例子，大多數規則都會導致這種循環排序，這被稱為投票悖論【5】。
在上述投票悖論的例子中，根據多數規則，群體偏好的結果是蘋果優於梨，梨優於桃，但桃優於蘋果，因此群體偏好不具有傳遞性。因此，對於備選方案的數量不小於3的情況，由於大多數規則的集合形成的群體偏好不是備選方案集上的偏好順序，因此它不是壹個群體可調度規則。然而，我們不難驗證，即使備選項的數量不少於3個，大多數規則仍然可以滿足阿羅公理的四個條件。
梳子狀況
使用大多數規則進行群體決策的主要缺點是，如果對個人偏好的選擇沒有限制，有時會出現收集的群體偏好不可傳遞的問題。因此，人們考慮如何適當限制個人偏好的選擇，使多數規則形成的群體偏好能夠保證在備選集中傳遞。這裏有壹個簡單直觀的限制。
Combs條件是Rr，Pr和Ir是r（r = 1，…，l；l≥2）DMr決策者對備選方案集X的偏好，
嚴格的偏愛和冷漠。如果X上有壹個數值函數a（t）和對應於每個DMr的偏好值ar，則X中的任何方案X，
是的，是的
（1）xPry當且僅當| a（x）-ar |《| a（y）-ar |，
（2）xIry當且僅當| a（x）-ar | = | a（y）-ar |
（也就是說，xRry被稱為X上的Combs偏好當且僅當| a（X）-ar |≤| a（y）-ar |）。如果對於每個r（= 1，…，L），個體偏好Rr是X上的Combs偏好，則稱個體偏好組【R1，…，R1】滿足X上的Combs條件。
這個條件是由C.H.Coombs在1954中提出的【6】。當方案數不少於3個，決策者數不少於2個，且為奇數時，如果個體偏好群滿足Combs條件，則可以證明由大多數規則集合形成的群體偏好壹定是可傳遞的。
上述結果表明，個體偏好群體的Combs條件是使大多數規則形成的群體偏好可傳遞的充分條件。這
此外，還有其他條件，如Black條件、Romero條件和Arrow-Black條件，這些條件也是大多數規則集合形成的群體偏好傳遞性的充分條件【1，2】。在實踐中，只要個人偏好的選擇僅限於滿足這些條件，那麽在使用多數規則進行群體決策時就不會出現投票悖論等循環排序現象。因此，在個人偏好的適當限制下，多數原則仍然是壹種廣泛使用的群體決策方法。