環的直和分解將大環分解成小環，結構更簡單。受整數算術基本定理的啟發，我們還可以從乘法和分解的角度研究環。為了從這個定向研究中得到有用的結論，我們需要對環做壹些限制。由於我們關心的是因子，乘法的階是多余的，是礙事的，所以要求環是可交換的。另外零因子的討論沒有意義，所以規定所有非零元素都是正則元素。所以我們只需要討論全環中元素的乘法分解。為了簡化描述，下面將忽略零元素的討論。
如在初等數論中，若稱b可被a整除，或b是a的因子，則記為，否則記為。壹般關於整除的討論都比較簡單，這裏就不贅述了。我們著眼於分解的各種可能性，最後試圖得出壹個類似於算術基本定理的結論。在分解過程中，可逆元素總是可以到處出現或被消除，這就像整數環中的1，並不影響分解的本質。這就是為什麽可逆元素也被稱為單位。如果我們說A和B是關聯的，那麽關聯的元素在分解中可以是等價的，有壹個關於關聯的等價定義:如果，同時，A和B被說成是關聯的。既然要考慮可逆元，就必須要求乘法中單位元的存在，所以下面的討論只針對有單位元的整環。
對於任何壹個元素，它的所有關聯元素和單位都是A的平凡因子，其他的都是真因子。有真因子的元素稱為可約元素，否則稱為不可約元素。顯然，整數環的不可約元素是素數。有了因子和不可約元素的定義，我們可以嘗試模仿算術的基本定理。從這裏的討論，妳會明白算術基本定理不是顯而易見的，而是需要壹定的條件。首先每個元素必有有限分解，其次，如果分解在伴元素意義下是唯壹的，那麽滿足這兩個條件的元素稱為唯壹可分解，所有元素都滿足條件的環稱為唯壹可分解環。因為環的元素沒有大小的概念，所以無限分解是可能的，很容易舉出很多分解的例子。
？討論的單位和其中9的分解。
現在我們的問題自然是，什麽樣的環才是唯壹的分解環？我們先來看看唯壹分解環的性質。如果有壹個不可約元素P，很容易用唯壹分解證明，並且至少有壹個成立。現在提取概念，滿足上述條件的元素稱為環的素元。素元壹定是不可約元，唯壹分解環中的不可約元是素元。對於壹般的環，當素元和不可約元重疊時，通過反證法可以知道，只能有限分解的元素是唯壹的。因此，環唯壹分解的充要條件是環的元素是有限分解且素元素與不可約元素等價。
在得到唯壹的分解環之後，可以像在初等數論中那樣定義公約數。如果c和* * *，是同壹個因子，則稱為它們的公因式。環的元素沒有大小的概念，所以不容易直接定義最大公約數。復習最大公約數的幾個等價定義，找壹個只用整除的。如果D是的公因數，且任壹公因數是D的因數，則稱D為最大公因數，單位為最大公因數的元素稱為互質。最大公因式不壹定存在，但是對於唯壹分解環很容易得到最大公因式的存在。
素元的定義在某種程度上就是唯壹分解本身，這種判斷條件並不能給我們帶來更多有用的信息。判斷和構造唯壹分解環仍然不是壹件容易的事情。在整數環中引入帶余數的除法後，可以得到最大公約數的更多性質，這些性質也可以得到算術基本定理。但由於壹般環中沒有大小的概念，這些性質可能不成立，但啟發了我們如何構造更壹般的唯壹分解環。這裏有兩個重要的唯壹分解環，都有整數環的最大公約數的影子。
整數環的任何理想都有壹個最小數，這個最小數是理想的最大公約數，它的所有倍數都在理想中，即理想是其最大公約數生成的主理想。任何理想都是主理想的環稱為主理想環。主理想環首先保證了分解的有限性，因為無限分解列的生成理想也是主理想，主理想的生成元是分解列的末端。此外，很容易證明主理想環R中的不可約元壹定是極大理想。因此，商環是壹個定義域，因此，必有或，即或。這證明了主理想環是唯壹的分解環。
？證明高斯整數環是主理想環。(提示:檢查絕對值最小的元素)
研究唯壹分解環更直接的方法當然是在環r中定義帶余數的除法，為此定義了壹個非零元素到正整數的映射φ，它對於環中的任意元素都存在，其中or。如果這樣的映射存在，R稱為歐氏環。如果和是n中最小的，那麽很容易證明n中的任意元素取a為因子，這樣n就是主理想，那麽r就是唯壹的分解環。
？證明高斯整數環是歐氏環；(提示:正在接近)
？證明域上的多項式環是歐氏環。(提示:考慮順序)
高斯整數環是整數環的擴展，它的元素都是復數的形式。稱為z的範數，很容易證明該範數具有以下性質。上面的練習已經證明了高斯整數環是唯壹的分解環。以此為例，我們簡單分析壹下這個環的分解。首先比較容易得到，g的單位集是。接下來，研究素元。為了區分，整數環的素數先稱為有理數素數。
高斯整數環是整數環的壹個子環，所以每個高斯整數首先可以根據算術基本定理分解成有理素數的乘積。從分解的唯壹性來看，素元壹定是壹個有理數素元的因子，所以我們只需要研究有理數素元p的分解，p的範數是0，所以它的因子不能超過2，也就是說p要麽本身就是壹個素元，要麽有兩個* * *軛素元，而且。再進壹步，其實就是研究不定方程是否有解。
首先有壹個唯壹的偶素數，所以2不是素元，它有素因子。對於p為奇數的場景，可以得出方程成立的必要條件是，從初等數論的知識。所以當p本身是質數時。而當，有解，所以，但是，所以p不是素數(註意不壹定是素數)。
在結束對環的討論之前，我們先以多項式環為例來看看環論的應用。在高等代數中，我們討論域上的多項式。這裏我們從壹般環開始，然後在特殊環中研究，妳會對多項式有更高的視角。我們之前已經給出了多項式環的定義，這裏我們進壹步研究多項式的根和因式分解。
對於壹個多項式，考慮把它帶入表達式，結果叫做at的值，滿意度叫做多項式的根或零點。這裏要註意的是，多項式必須是完全展開的。對於非交換環R，如果，顯然，這是不必要的。當然，這個等式對於交換環當然是成立的。為了討論方便，次數記為，顯然有如下關系。當總理系數不是零系數的時候，還是有的。
有了這些基本概念，我們接著討論根和多項式分解之間的關系。對於域上的多項式，利用高等代數中的除法可以得到下面的公式(3)，這個公式是唯壹的。回顧壹下計算過程，其實對於酉環上的多項式，只需要第壹個系數就是單位。所以這個結論對於壹般的環也是成立的，選對就行了。特別是，對於任何，如果妳拿，有。展開右邊代入兩邊，排序後得到(與交換)。這就是余數定理(公式(4))。註意A在這個證明中不能直接代入，因為R不壹定是交換環。
根據上面的討論，當a是的根時，我們可以得到。另壹方面，如果有，則在交換環中公式為0(在非交換環中不壹定成立)。這樣我們就得出結論:交換環中存在公式(5)的等價關系。假設帶酉環的多項式的異零點為0，那麽首先有。如果是交換環，有；如果它也是零因子自由環，那麽，因此。以此類推，就很容易知道，多項式的根的個數不大於次數n，不同點上相同值的多項式是唯壹的。綜上所述，整環上的多項式最多包含壹個根。這個結論看似顯而易見，但每個條件都是不可或缺的。比如在四元數除環H中，顯然不止壹個根。
？證明:在整數環上，是不可約的。(提示:反證)
上述定理給出了酉環上多項式的因式分解方法，但還有兩個問題需要解決。壹個是如何找到根源。目前沒有通用的方法。這裏只有壹種方法可以找到業務域的根。設它是整環的商域，考察中的解，帶入方程並展開。如果假設(要求整環是唯壹的分解環)，那麽有和。可以作為方程解的篩選方法，比如理解整系數方程的解法。
？求多項式的有理根。
另壹個問題是，如果有n，如何確定甚至確定n的值。當，n稱為根A的重數，特別是當，A稱為根的重數，否則稱為單根。微積分中用多項式的導數來判斷重根，這種方法在環中仍然可以成立。我們稱之為正規的微信業務，很容易驗證微信業務的壹般性質在酉環中仍然有效。和微積分中壹樣，A是重根的充要條件是妳壹直用這個結論還是可以得到多個數。另外，因為域上的多項式環是唯壹分解的，如果，不存在* * *同根，所以不存在重根。
多項式的因式分解壹般不容易，但在常見數域中有壹些有用的結論。比如根據代數的基本定理(在復變函數中介紹)，復數域上的多項式可以分解成幾個線性因子。再者，很容易證明實系數多項式的根的* * *軛也是根(* * *軛運算的性質)，所以實數域的多項式可以分解成若幹個線性和二次因子。有理數域上的多項式可以轉化為整數環多項式的討論。下壹節我們將給出壹個求有理根的方法和壹個判定多項式不可約的充分條件，對有理數域上多項式的分解有壹定的幫助。
現在，我們繼續討論多項式的因式分解。如果要考察它的唯壹因子分解，首先必須要求系數環R是唯壹因子分解環。在分解中，總是可以先提取系數的公因子，只有壹個系數公因子的多項式稱為本原多項式，可以簡化討論。我們自然有壹個小問題。當然，本原多項式的階乘必須是本原多項式。反過來呢？本原多項式的乘積還是本原的嗎？結論是肯定的。觀察多項式乘積各項的構成形式(參考下圖)。如果P是乘積展開的公因子，如圖所示，則次項是矛盾的。這就證明了本原多項式的乘積也是本原多項式，這個結論也叫高斯引理。
多項式可以分解為，其中是本原多項式。對於證書的唯壹可分解性，僅需要證書的唯壹可分解性。因為的階是有限的，它的階乘是本原的，所以域上的分解首先必須是有限的。現在我們只需要討論唯壹性。在前面的練習中，我們已經得到了域上的多項式環是唯壹的分解環，並且每個整環都有它的商域。為了研究唯壹分解環r上多項式環的唯壹分解，我們可以利用商域上多項式環的唯壹分解。
對於中的不可約本原多項式，我們在中討論了它的分解，當然我們只註意階大於的因子。如果中有壹些系數，您總是可以添加壹些系數來使等式(6)成立，其中是中的本原多項式。根據高斯引理，它也是本原多項式，很容易證明陪伴。如果被淘汰，那就陪著。這與不可約性相矛盾，所以現在是不可約的。因此，如果本原多項式有不同的分解方法，那麽它們在中也是不同的分解，這與的唯壹分解性相矛盾，我們的結論叫做高斯定理。
本原多項式的分解沒有通用的方法，即使本原多項式是否可約也很難判斷，這裏只介紹壹個不可約的充分條件:Eisenstein。若有素元P，可參照高斯定理的證明方法，確定本原多項式不可約。首先可以假設，因為，妳總能找到。考察容易證明，與條件矛盾，所以f(x)不可約。
Eisenstein判別法不是不可約多項式的必要條件，但對於判斷不可約本原多項式非常有用，例如可以確定任何本原多項式都有不可約多項式。值得壹提的是，很容易驗證的是，的可約性與的可約性相同，有時可以靈活運用這種變形來構造判別式的結構。
？證明:在唯壹分解環中不可約；
？驗證:有理數域不可約；
？證明:有理數域不可約。
多元多項式環有壹個特殊的子環σ，其中每個元素都非常“對稱”。準確地說，壹對中的任何置換都保持不變，這樣的多項式稱為對稱多項式。在這些多項式中，有幾個是最基本的(公式(7))，它們被稱為基本對稱多項式。這些公式妳可能很熟悉。這就是閉域上n次多項式方程的維耶塔定理，給出了方程的根與系數的關系(式(8))。
妳在中學時已經接觸過對稱多項式，這裏我們介紹壹個關於它們的漂亮結論。可以想象，將這N個元素放入任意N元多項式中，仍然會得到壹個對稱多項式。我們的結論是它的逆命題:任何多項式都可以用這n個元素的多項式來表示，即公式(9)成立，下面的證明過程實際上就是生成多項式的構造過程。首先，壹個對稱多項式可以按照項的次數分成若幹個多項式之和，其中每壹項的次數為k，很容易證明它也是對稱多項式，壹般稱為齊次對稱多項式，基本多項式就是壹個典型的例子。如果我們能證明這個結論在齊次多項式中成立，它在壹般多項式中也成立。
為了討論方便，我們將在壹個字典中對m次齊次多項式的項進行排序。考慮到展開的最大項是公式(10)，我們可以逆向構造n，使其最大項等於的最大項m，兩個公式相減後的最大項壹定小於前面的最大項。這個過程可以在有限步後結束，構造的n都是生成多項式的項，證明了對稱多項式的基本定理。這個結論對任意環R都成立，從證明過程也可以知道，當R是整環時，生成多項式是唯壹的。
回顧構造過程，發現每次選取的最大項是m，所以滿足條件(11)。根據這個結論，我們可以用待定系數法更快地得到壹個特定的生成多項式。例如，如果取不同的值，可以通過求解方程來獲得生成多項式。
最後，我們來討論壹種常用的對稱多項式，它是元素的等冪和。我們需要知道它們與基本對稱多項式的關系。為了得到壹個結論，我們充分利用維耶塔定理和的形式特征，構造壹個次數小於n的多項式，就可以得到公式(12)。通過比較方程兩邊的n項，得到著名的牛頓公式(公式(13)(14))，可以在和之間轉換。
域是壹個比較“完整”的結構，它的限制很多，所以結構自然也不多。現在我們來初步研究壹下壹個域的結構。當然，研究方法是從小領域擴展到大領域。如果F是E的子域，則E也稱為F的延伸或擴展..當然，擴展應該從最簡單的領域開始。我們熟悉的簡單領域有哪些？最簡單的無限域是有理數域，是最小的數域，任何數域都包含有理數域；最簡單的有限域是素數p下整數的剩余類域，這兩類域不再有適當的子域，所以我們把沒有適當子域的域稱為素數域，壹般記為。
那麽除了這兩個眾所周知的素數域，還有其他的素數域嗎？每個域都包含單位元，生成的域都是素域，並且是生成環的商域，所以可以從的生成環來討論。當，它與整數環z同構，所以它們的商域同構，即。如前所述，這樣的環同構於同余環，然後有。這樣同構下的素域只有Q和，任何域都包含壹個且只有壹個素域。
有了最簡單的定義域，就開始進行定義域的擴展，需要研究新加入元素的性質和擴展定義域的結構特征。從F的擴張域E中取子集S，記錄S加到F後生成的擴張域，需要註意的是，這個定義總是建立在擴張域E存在的基礎上的，我們來討論壹下這個擴張域累加的本質。根據定義，我們知道它是壹個包容的域，而不是最小的域，所以有。也可以推導出來，從而得到公式(1)。
上述結論表明，擴張場等價於有限步的局部擴張，擴張的順序不影響結果。局部擴張的研究對整個擴張域是有幫助的，尤其是我們可以先重點研究的擴張域，稱為簡單擴張域。從域的定義和分式的特性，很容易知道F中的所有元素都有格式，其中F是多項式。所有的分數構成了壹個簡單的擴展域，但是不同的分數可能指向同壹個元素。讓我們從這裏開始研究壹個簡單的擴展域的結構。
多項式是可拓域中的基本結構，對它的討論可以幫助我們分析域的結構。如果F中的所有多項式都被替換，則值可能不同或重復。當有重復時，多項式會被減去，有這樣多項式的α稱為F的代數元，否則稱為超越元。代數元和超越元有本質的區別，從這個角度來討論單擴域的結構是很有必要的。對於有理數域在實數域的展開，代數數是代數元，超越數是超越元。事實上，本文討論了它們的擴展。
對於很多滿足的多項式，我們總能找到第壹個1次最低的多項式。很容易證明這個多項式對於代數元素α是存在且唯壹的，稱為f上α的最小多項式，最小多項式的次數也稱為代數元素的次數。顯然，F中元素的次數是1。最小多項式有壹些簡單的性質。首先，它在F上是不可約的，否則必須有壹個因子滿足，這與最小多項式的定義相矛盾。其次，對於任何壹個滿足多項式，必有壹個滿足多項式，否則可以用帶余數的除法來構造壹個較小次的多項式滿足。
圍繞元素類型或最小多項式，簡單擴張域的結構更加明顯。雖然直覺已經告訴了妳最終的答案，但還是要用嚴格的推理來驗證猜想。推理方法當然是從定義壹個合適的同態映射入手，先驗證生成環的同構，再推導到商域的同構。請自行驗證。當α是超越元素時，生成環明顯同構，因而同構於它的商環。當α是代數元素時，可以證明生成環同構於，因為不可約，表達式是域，所以有。因此，代數元素的簡單擴張域是多項式環(公式(2))。這個結論顯示了簡單代數擴張域的簡潔結構，也顯示了研究代數擴張域的重要性。
上述結果還表明，如果α的次數為n，那麽α的任意元素都是次數小於n的多項式的值，換句話說，每個元素都是f上的線性組合，很容易證明表示是唯壹的。在線性代數的語言中，單代數的擴張域是f上的n維空間，該空間的底是。從這個角度分析簡單代數的擴張域也是很有用的。
弄清楚簡單代數擴張域的結構後，我們希望進壹步研究由更多代數元素生成的擴張域，或者所有元素都是代數元素的擴張域。第壹個自然的問題是，這兩個擴展是壹樣的嗎？為了討論方便，我們將後者定義為代數擴張域，具有超越元素的擴張域稱為超越擴張域。既然代數擴張域總是由代數元素生成，那麽剛才的問題自然就變成了:代數元素集S生成的擴張域壹定是代數擴張域嗎？直覺告訴我們這個結論是成立的，但是仔細考慮就沒那麽明顯了。現在，讓我們分兩步來證明這個猜想。首先考慮S是有限集的場景，然後推廣到無限集。
簡單代數擴張域的線性空間結構促使我們研究更壹般的擴張域的維數。如果擴張域是f上的線性空間，這個空間的維數叫做e在f上的次數，記為。當有限時，e稱為f的有限擴張域，否則稱為無限擴張域。通過線性代數的簡單推導，可以得到次數的累加(公式(3))。以壹個有限擴張域為例，如果e在k上的基為，k在f上的基為，那麽很容易證明它就是e在f上的基(線性表示，證明不相關)。