從N個不同元素中，任意m(m≤n)個元素按壹定順序排列成壹列，稱為N個不同元素中M個元素的排列；取自n個不同元素的m(m≤n)個元素的所有排列數稱為取自n個不同元素的m個元素的排列數，用符號A(n，m)或P(n，m)表示。
A(n，m)= n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n！/(n-m)！(當n=m時，上式的分母為0！=1).
組合和計算公式
從N個不同的元素中取出任意m(m≤n)個元素並分組，稱為從N個不同的元素中取出M個元素的組合；取自n個不同元素的m(m≤n)個元素的所有組合的個數稱為取自n個不同元素的m個元素的組合個數。使用符號。
C(n，m)代表。(c是組合)。
C(n，m)=A(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！);C(n，m)=C(n，n-m)；
3.其他排列組合公式
N個元素中R個元素的循環置換數=A(n，r)/r=n！/r(n-r)！。
n個元素分為K類，每類的個數為n1，n2，...nk。這N個元素的總排列數是
n！/(n1！*n2！*...*nk！).
k類元素，每類的個數是無限的，M個元素的組合個數是C(m+k-1，M)。
兩個基本計數原理及其應用
(1)加法原理和分類計數法
1.加法原理
2.加法原理的集合形式
分類要求
每個類中的每個方法都可以獨立完成這個任務；兩種不同方法中的具體方法互不相同(即分類不重)；任何完成這個任務的方法都屬於某壹類(即分類不漏)
(2)乘法原理和計步方法。
1.乘法原理
2.合理的分步要求
任何壹步的壹個方法都無法完成這個任務，只有連續完成這n步才能完成這個任務；每壹步都是相互獨立的；只要壹個步驟中采用的方法不同，完成它的相應方法也不同。
【例題解析】排列組合思維方法精選講座
1.首先，明確任務的意義。
示例1。從1、2、3、...和20組成壹個等差數列，而這樣不同的等差數列有_ _ _ _ _ _。
解析:首先要把復雜的生活背景或者其他數學背景轉化為清晰的排列組合問題。
設a，b，c相等，∴ 2b=a+c，我們知道b由a，c決定
而∵ 2b是偶數，∴ a，c是奇數或偶數，也就是從1，3，5這十個數中選兩個數，...，19或2，4，6，8，...，20進行排列，這樣可以確定等差數列。
例2。壹個城市有四條東西向街道，六條南北向街道，街道間距相同，如圖。如果規定只能沿著圖中的路線兩個方向走，從M到N有多少種不同的方式？
分析:對實際背景的分析可以逐層深入。
(1)從M到N，必須上三步，右五步，八步到* * *。
(2)每壹步是向上還是正確，決定了不同的路要走。
(3)事實上，當向上的壹步被決定時，剩下的幾步只能向右移動。
所以任務可以描述為:從八步中選擇哪三步往上走，然後就可以確定步數了。
這個問題的答案是:56。
2.註意加法原理和乘法原理的特點，分析是分類還是分步，排列還是組合。
例3。在壹塊10壟的並列田裏，選兩壟分別種A、B兩種作物，各種壹壟。為了有利於作物生長，要求兩茬作物間隔不少於6壟，有_ _ _ _ _ _種不同的選擇方法。
解析:“甲、乙作物間距不小於6壟”的條件不易用壹個包含行數和組合數的公式來表示，故采用分類方法。
第壹類:A在第壹道嶺，B有三個選擇；
第二類:A在第二脊，B有兩個選擇；
第三類:A在第三脊，B有選擇。
同樣，A和B的位置互換，***12種。
例4。從6副不同顏色的手套中選擇4副手套，其中壹副相同顏色的手套是_ _ _ _ _ _ _ _ _。
240(B)180(C)120(D)60
分析:顯然這個問題要逐步解決。
(1)從六雙手套中選出壹雙顏色相同的手套有六種方法，C(6，1)= 6；
(2)從剩下的十只手套中選擇壹只手套。有C(10，1)=10個方法。
(3)從除上述兩雙手套外的八只手套中選擇壹只手套，有八種方法:C(8，1)= 8；
(4)因為選擇與順序無關，所以(2)和(3)中的選擇方法重復壹次，所以有***240種。
例5。6個身高不同的人排成2排3列，第壹排的每個人都比同列後面的人矮，所以所有不同排列的個數是_ _ _ _ _ _。
分析:每列只要選兩個人，就只有壹種站法，所以每列的排隊方法只和這個人的選擇方法有關。* * *有三列，所以有90種C(6.2)* C(4.2)* C(2.2)= C
例6。11工人中，5個只能是鎖匠，4個只能是車工，另外2個可以是鎖匠和車工。現在在11人中，選出4人為鉗工，4人為車工。有多少種不同的選擇方法？
解析:采用加法原理，首先要做到不稱重不漏分。如何做到這壹點？分類標準必須壹致。
以兩個全能工為分類對象，考慮以其中幾個是鎖匠為分類標準。
第壹類:這兩個人都是做鎖匠的，C(7，4)=35種；
第二類:這兩個人中有壹個是做鉗工的，有75種C (6，4) * C (5，4)；
第三類:兩人都不是鉗工，C (5，4) * C (6，4)共有75種。
所以有185種* *。
例7。有六張印有0，1，3，5，7，9的牌。如果允許9用於6種用途，隨機抽三張牌可以形成多少個不同的三位數？
解析:有同學認為只要把0，1，3，5，7，9的排列數乘以2就可以了，但實際上，如果三個數中有9個，就有可能用6個來代替，所以壹定要分類。
提取的三個數包含0和9，有4*4*2=32種方法；
提取的三個數包含0但不包含9，有6*4=24種方法；
提取的三個數包含9但不包含0，有6*6*2=72種方法；
提取的三個數既不含9也不含0，有4×6=24種方法。
***152種。
例8。停車場有壹排12車位。今天要停8輛車，空車位要求連在壹起。不同的停車方式是_ _ _ _ _ _。
解析:把空車位看成壹個元素，用八輛車九個元素排列，所以* * *有P(9.8)個停車方法。
3.應優先考慮特殊元素；特殊位置，優先
例9。六個人站成壹排乞討。
(1)A不在頭B不在尾的排列數。
(2)A不在頭，B不在尾，A和B不相鄰的行數。
分析:(1)首先考慮頭排和尾排，但這兩個要求相互影響，所以考慮分類。
第壹類:B在頭部，有p(5，5)止損方法。
第二類:B不在前排，當然他也不可能在後排，還有4X4XP(4，4)的停法。
***p(5，5)+4X4XP(4，4)=504個站方法。
(2)第壹類:A在尾部，B在頭部，有P(4，4)方法。
第二類:A在隊列末尾，B不在頭。有3XP(4，4)個方法。
第三類:B是先鋒，A不是先鋒。有4XP(4，4)方法。
第四類:A不在隊尾，B不在頭。有P(3，3)XP(4，4)方法。
* * * p (4，4)+3xp (4，4)+4xp (4，4)+p (3，3) xp (4，4) = 312種。
示例10。對壹個產品的六個不同的正品和四個不同的次品逐壹進行測試，直到識別出所有的次品。如果第五次測試發現所有不良品，這樣的測試方法有多少種可能？
解析:這個問題的意思是第五次測試的產品壹定是有缺陷的，也是最後壹次，所以第五次測試應該作為壹個特殊的位置，壹步壹步的完成。
第壹步:第五次測試有C(4.1)種可能性；
第二步:前四次有C(6.1)可能性的正品。
第三步:前四次有P(4.4)種可能。
C(4.1)* C(6.1)* P(4.4)
綁定和插入
示例11。8個人排成壹行。
(1) A和B壹定相鄰(2) A和B不相鄰。
(3)甲、乙必須相鄰，丙不得相鄰(4)甲、乙必須相鄰，丙必須相鄰。
(5)甲方與乙方不相鄰，乙方與丁方不相鄰。
(1)甲、乙必須相鄰，即甲、乙綁定(甲、乙可以互換)，7人安排在P(7.7)*2。
(2)甲乙雙方不相鄰P(8.8)-P(7.7)*2
(3)甲、乙雙方必須相鄰，不能與丙方相鄰。
壹、甲乙雙方必須相鄰，且與丙方相鄰，P(6.6)*2*2。
甲、乙雙方必須相鄰且不相鄰丙方P(7.7)*2-P(6.6)*2*2。
(4)甲乙雙方必須相鄰，乙方必須與P(6.6)*2*2相鄰。
(5)甲方與乙方不相鄰，乙方與丁方不相鄰。
P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2
示例12。有人開了8槍，打了4槍，正好連續打了3槍。有多少種不同的情況？
分析:∵連續三發命中不能和單獨壹發命中相鄰，所以這是壹個插入空間的問題。另外，不打也沒什麽區別，不用數了。即四個空槍之間形成的五個氣槍中的兩個的排列，即P(5.2)。
示例13。有十盞路燈，編號為1，2，3，...，10在路上。為了省電，看清楚路，可以關三個，但是相鄰的兩三個燈不能同時關。有多少種方法可以關掉符合要求的燈？
分析:即關閉的燈不能相鄰，也不能在兩端。因為燈之間沒有區別，問題是在不包括兩端的七盞燈形成的六個空間裏，選擇三盞空著的燈熄滅。
∴ * * c (6.3) = 20個方法。
4.間接計數法。(1)排除法
示例14。三行三列九個點。以這些點為頂點可以組成多少個三角形？
解析:有些問題很難直接解決，可以用間接的方法。
解題方法數=任意三點的組合數-直線上三點的方法數* * *，
* * *物種。
示例15。取出立方體八個頂點中的四個，可以形成多少個四面體？
解析:解題方法數=任意四個點的組合數-* * *平面內四個點的方法數，
* * *-12 = 70-12 = 58.
例16。l，2，3，3，4，5，6，7，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，1
分析:因為基數不可能是1。
(1)當選擇1時，1必須是實數。
(2)不選擇1時，選擇2-9中的兩個作為基數，實數和* * *，其中log24=log39，log42 = log93，log23 = log49，log32 = log94。
所以壹個* * *有53個。
(3)虛構壹個階段，把它變成壹個熟悉的問題。
示例17。六個人排隊，要求A在B前面(不壹定相鄰)。有多少種不同的方式？如果要求甲、乙、丙三方從左到右排列呢？
分析:(1)實際上A在B的前面，A在B的後面，是對稱的，有相同的排列數。所以有=360種。
(2)首先考慮六個人的滿員安排；其次，甲、乙、丙只能站壹個順序，所以前面的排數是重復的，∴ ***120。
例18.5男女排球隊組成壹排，要求男生按照從高到矮的順序。有多少種不同的方法？
分析:首先，不考慮男生的站姿要求，有* * *種；男生從高到矮的順序從左到右只有壹種站姿方法，所以上面的站姿方法重復幾次。所以有=9×8×7×6=3024種。
如果男生按照從高到矮的順序從右到左，只有壹種站姿法，同樣的方法也有3024種，所以有6048種。
示例19。三個相同的紅球和兩個不同的白球排成壹行。有多少種不同的* * *方式？
分析:第壹，認為三個紅球互不相同，有* * *方法。因為三個紅球占據相同的位置，* * *變化，所以***=20種。
擋板的使用
例20.10名額分配給八個班，每個班至少有壹個名額。有多少種不同的分配方法？
解析:將10個位置看作十個元素，在這十個元素之間形成的九個空間中，選擇七個位置放置擋板，所以每種放置方法相當於壹種分配方法。所以***三十六種。
6.註意排列組合的區別和聯系:所有排列都可以看作是先取組合再做整體排列；同樣，組合，比如增加壹個階段(排序)，可以轉化為壹個排列問題。
例21。從0，L，2中取出兩個偶數和三個奇數
分析:先選後排。此外，應考慮特殊元素0的選擇。
(1)如果選擇的兩個偶數包含0，則有種子。
(2)如果選擇的兩個偶數不包含0，則有種子。
例22。電梯有7名乘客，停在10層大樓的每壹層。如果三個乘客從同壹樓層出去，另外兩個從同壹樓層出去，最後兩個從不同樓層出去，有多少種不同的方式下去？
分析:(1)首先把七個乘客分成四組:三個乘客，兩個乘客，壹個乘客，壹個人。
(2)選擇10層中的四層下樓。
* * *妳有種。
例23。使用數字0，1，2，3，4和5組成壹個沒有重復數字的四位數。
(1)可以組成多少個不同的四位數？
(2)可以形成多少種不同的四位偶數？
(3)四位數能被3除多少？
(4)將(1)中的四位數按從小到大的順序排列，問85項是什麽？
分析:(1)有5*5*4*3=300。
(2)分為兩類:底部0，有種子；0不在底部，有種子。
* * * * *物種。
(3)首先從小到大列出加法能被3整除的四個數，即先選。
0,1,2,3
0,1,3,5
0,2,3,4
0,3,4,5
1,2,4,5
它們排列的數必須能被3整除，再排列，有:4×()+=96種。
(4)首先有1的有=60。
前兩位數字是20 =12。
前兩位是21 =12。
因此，第85項是前兩位數為23的最小數，即2301。
7.分組問題
實施例24。6本不同的書
(1)交給甲、乙、丙三個人，每人兩份。有多少種不同的方式？
(2)分成三堆，每堆兩本書，有多少種不同的方式？
(3)分為三堆、壹堆、二堆、三堆，有多少種不同的方式？
(4) A、B、C，有多少種不同的方式？
(5)交給甲方、乙方、丙方，其中壹人壹份，壹人兩份，第三人三份。有多少種不同的方式？
分析:(1)適中。
(2)即在(1)的基礎上去掉順序，有種子。
(3)有種子。因為這是壹個不均勻的分組，所以不包含順序。
(4)有壹種。同(3)，原因是A、B、C的持有量是確定的。
(5)有種子。
例25。六個人分坐兩輛不同的車，每輛車最多可以坐四個人，所以不同的乘車方式是_ _ _ _ _ _。
分析:(1)考慮把6個人分成2人和4人，3人和3人分別分成兩組。
第壹類:平均分成3人壹組。有壹個辦法。
第二類:分成每組2人4人。有壹個辦法。
(2)考慮上兩輛不同的車。
綜合①②，有種子。
實施例26。五個學生被分配到四個不同的科技組參加活動，每個科技組至少有壹個學生參加，所以有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _個
分析:(1)首先把五個學生分成兩組，壹人壹組，每組壹人。
涉及到平均分成四組，分組方式有=種。
(2)考慮將他們分配到四個不同的科技組。有壹種，
根據(1)和(2)，***=240種。