中國在古代數學方面取得了輝煌的成就。今天，吳先生和吳太太將介紹中國的剩余定理，它在中國數學史上非常著名。
1韓信點兵問題
這個問題從壹個叫“韓信點兵”的故事開始。
秦末楚漢相爭，漢初三傑之壹的韓信，曾經率領1500的士兵打仗，死了四五百人。為了統計剩余士兵的數量，韓信壹連命令三名士兵，多帶兩名；5人壹排，4人多；七個人壹排，六個多。韓信據此迅速陳述人數:1049。漢軍對韓信將軍十分信服，之後更是深信韓信是“天降之神，計之巧妙”，於是士氣大振，戰鼓震天。接下來的戰鬥，漢軍步步緊逼，楚軍亂作壹團，大敗而逃。韓信名揚天下，被後人譽為“兵仙”、“帥神”。
那麽韓信是如何快速計算出士兵數量的呢？韓信的兵問題可以用現代數學語言描述為:兵數為0的話，除以3除以2，除以5除以4，除以7除以6。
我們也可以用同余來表達這個問題:
我們發現，如果，它可以同時被3，5，7整除，也就是
所以壹定是3，5，7的最小公倍數的整數倍。因為3，5和7互為質數，那麽
因此
也就是
那麽，正整數在哪裏
就這樣，韓信算出了剩余士兵的數量。
2孫子算經不識事的問題。
這類問題其實就是解初等數論中的同余方程組。在數學史上，韓信的點兵問題也被稱為知事問題，最早記載於壹千多年前的《孫子兵法》中:
"
我不知道今天的事情有多少。事物的幾何是什麽？
轉化成現代數學語言，就是求解整數滿足的同余式。
這個問題和上面說的韓信點兵的問題差不多，但是沒有上壹個好，因為無論加減壹個數，都不能同時被3、5、7整除。那麽，如何解決這個問題呢？
宋代數學家秦在《舒舒九章》(1247)第壹卷和第二卷中，對“物是未知的”問題作了完整而系統的回答。明代數學家程大偉將這壹解答編成了壹首朗朗上口的《孫子兵法》:
"
他們三人在七十，五樹二十壹社(二十壹)，七子團聚半月，除壹百零五使。
這首詩的意思是:把3除以70得到的余數，5除以21得到的余數，7除以15得到的余數，全部除以105得到的余數就是答案。
根據這個算法，我們可以得到:
所以，未知數問題的最小正整數解是，其實23真的滿足了被3和2除，被5和3除，被7和2除的要求。這個問題的壹般解決方案如下
其中是自然數。
3中國剩余定理
對於這個問題，如果是壹般情況，怎麽處理？例如，有同余:
我們把這個問題分解成三個同余方程。
那麽初始問題有最小正整數解。
所以只要能找到符合條件的。舉個例子，從同余公式，
因此
所以存在使得
因此
它的存在是可以證明的，因為有以下定理:
"
如果是這樣，壹定有什麽東西使
對於這個定理的證明，我們可以考慮集合中的最小正整數，只要證明這個最小正整數是1。
考慮最小的正整數，，因為互質，所以只能是1。
這件事可以用反證法證明:不可分，必可分。
因此
所以余數也可以用壹個整數乘以另壹個整數的形式來表示，而且因為小於，這就和最初認為它是最小正整數的假設相矛盾，所以壹定是。
因此，證明了存在。
其實這類問題不僅存在，而且很容易找到，其中70是能同時被5和7整除並除以3余數1的最小正整數，所以可以用同樣的方法得到，所以這類問題有壹個通解:
原來上面古詩詞中的70，21，15這三個數字就是由此而來！
壹般來說，給定不同的素數，同余方程
壹定有解決的辦法。要解決這個問題，我們只需要構造基本的解系統:
所以有
因為都是質數，所以它們的存在是顯而易見的。
解決上述問題的過程和方法稱為“中國剩余定理”和“孫子定理”。
中國剩余定理的傳播最早是在1852年由英國駐華傳教士偉烈亞力傳到歐洲的。1874年，英國數學家馬錫森指出，這種方法符合高斯在1801中得到的同余解的壹般定理，因此在西方被稱為“中國剩余定理”，成為初等數論中非常重要的定理。