壹次不定方程
二元線性不定方程的壹般形式為ax+by = C .其中a，b，c為整數，ab ≠ 0。這個方程有整數解的充要條件是A和B的最大公約數能被c整除，設，是方程的壹組整數解，那麽方程的所有整數解都可以表示為。
S(≥2)元線性不定方程的壹般形式為a 1x 1+a2 x2+…+asxs = n0a 1，…，as，n為整數，a1…as≠0。這個方程有整數解的充要條件是a1的最大公約數，…，as能被n整除。
公元前300年，古希臘數學家歐幾裏德發現數論的本質是質數，他自己也證明了質數有無窮多個。公元前250年，古希臘數學家厄拉多塞發明了壹種篩選方法:
a“要得到所有不大於壹個自然數N的素數，只需在2 - N中劃掉所有不大於√N的素數的倍數”。
後來人們把上面的內容等價轉換:“如果n是壹個合數，它有壹個滿足1的因子d
三、二的內容等價轉換:“若自然數N不能被任何不大於(根號)√N的素數整除，則N為素數”。見(代數大辭典[上海教育出版社]1985。《抽屜》由甄主編。第259頁)。
上述句子的漢字可以等價地轉換成用英文字母表示的公式:
n = p 1m 1+a 1 = p2m 2+a2 =......=pkmk+ak .⑴
其中p1，p2，...，pk代表順序質數2，3，5，，，，。答≠0 .即n不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0。如果n的平方(k+1)【註:以下1，2，3，...，K，(k+1)都是足印，而且因為不能打印，所以字母後面的數字或者I和K都是足印]，那麽n就是壹個素數。
(5 )( 1)的等價可以轉化為壹組同余式:
N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N AK(modpk)。⑵
比如29，29不能被根號29以下的任何素數2，3，5整除，29 = 2x 14+1 = 3x 9+2 = 5x 5+4。29≡1(模2)，29≡2(模3)，29≡4(模5).29小於7的平方49，所以29是壹個質數。
以後的平方用“*”表示，即㎡=m*。
作為υp 1，p2，...，pk是兩兩互質的，根據孫子定理(中國剩余定理)，⑵在p1p2範圍內有唯壹解...PK。
比如當k=1，N=2m+1，解是N=3，5，7。得到了(3，3 *)區間內的所有素數。
當k=2時，N=2m+1=3m+1，解為n = 7，13，19；N=2m+1=3m+2，解為n = 5，11，17，23。獲得了(5，5 *)區間內的所有素數。
當k=3時，
- | 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3，| 5m+4。|
- | - | - | - | - |
n = 2m+1 = 3m+1 = |-31-|-7，37-|-13，43| - 19 - |
n = 2m+1 = 3m+2 = |-11，41-|-17，47-| - 23 - | - 29 - |
-
得到(7，7 *)區間內的所有素數。這樣下去，任何壹個大數內的質數都可以得到。
多元壹次
關於整數多元線性不定方程，可以有矩陣求解、程序設計等相關方法幫助求解。
副手
二元二次不定方程本質上可以歸結為求二次曲線(即圓錐曲線)的有理點或整點的問題。
壹個特殊的二次不定方程是X ^ 2+Y ^ 2 = Z ^ 2，它的正整數解叫做商高數或勾股數。在中國的《周髀算經》中，有“茍光三，顧，吳”的說法，並且已知(3，4，5)是壹個解。劉徽在《九章算術註》中也給出了(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25)，(20，21，29)。它的所有正整數解都是在16世紀之前得到的。這類方程本質上是求橢圓上的有理點。
另壹類特殊的二次不定方程是所謂的Pell方程x2-dy2 = 1，d為非平方的正整數。利用連分數理論，我們知道這個方程總會有解。這種方程就是求雙曲線上的有理點。
最後壹類是平方剩余問題，即求x 2-py = q的整數解，用高斯同余理論描述，即求x 2 ≡ q (mod p)的剩余類解。高斯發現的著名的二次互等定律，給出了判斷二次方程是否有解的方法。這種方程相當於在拋物線上求整點。
圓錐曲線對應的不定方程的解可以看作橢圓曲線算術性質的壹個特例。
高學位
對於高於二次的不定方程，是相當復雜的。當n >時；2點，x ^ n+y ^ n = z ^ n沒有非平凡整數解，也就是著名的費馬大定理，這個定理已經被英國數學家安德魯·威爾斯證明了三個世紀。
壹些高階方程也無解:
(高階方程1無解)
(高階方程2無解)
多元高階不定方程
多元高次不定方程沒有壹般解，任何解都只能解壹些特殊的不定方程，比如用二次。
討論某些特殊不定方程的整數解。常見解決方案
(1)代數恒等式變形:如因式分解、公式、代換等。
⑵不等式估計法:利用不等式等方法，確定方程中某些變量的取值範圍，然後求解；
(3)同余法:取方程兩邊的特殊模(如奇偶分析)，縮小變量的範圍或性質，得到不定方程的整數解或判斷其無解；
⑷構造法:構造滿足要求的特解，或構造遞推公式證明方程有無窮多個解；
5]無限遞歸法。
4種特殊方法
編輯
壹、二元壹次方程(組)
定義1。ax+by = c (a，B，c∈Z，A，B不同時為零)形式的方程稱為二元線性不定方程。
定理1。方程ax+by = c有解當且僅當(a，b)| c；
定理2。如果(a，b) = 1，且x_0和y_0是ax+by = c的壹個解，則方程的所有解可表示為
定理3。N元線性不定方程A _ 1x _ 1+A _ 2x _ 2+…+A _ NX _ N = c，(A _ 1，A _ 2，…a_n，c∈N)有解。
(定理2，T是任意整數)
的充要條件是:(a_1，a_2，...a _ n) | C。
方法和技巧:
1.求解二元線性不定方程，通常要確定方程是否有解。如果有解，可以先求出ax+by = c的特解，從而寫出通解。當不定方程的系數不大時，有時可以通過觀察得到解，即引入變量，逐步降低系數，直到容易得到它的特解；
2.解線性不定方程A _ 1x _ 1+a_2x _ 2+…+A _ NX _ n = C時，可以先依次求解(A _ 1，a_2) = d_2，(d_2，A _ 2)。如果c能被d_n整除，方程就有解，而且是壹組方程:
(方法和技巧2)
求最後壹個方程的所有解，然後把t_(n-1)的每壹個值代入倒數第二個方程，求它的所有解，以此類推，就可以得到方程的所有解。
3.由m個具有n個變量的線性不定方程組成的方程組，其中m
二、高次方程(組)
1.因式分解法:對方程的壹邊進行因式分解，對另壹邊進行因式分解，然後兩邊比較，求解幾個方程；
2.同余法:若不定方程F( x_1，x_2，…，x_n) = 0有整數解，則對於任意m∈N，其整數解(x_1，x_2，…，x_n)滿足F( x)。
3.不等式估計法:利用不等式工具確定不定方程中某些字母的範圍，然後分別求解；
4.無限下降法:如果關於正整數n的命題P(n)對某些正整數成立，設n_0是使P(n)成立的最小正整數，可以推導出存在正整數n，這樣n _ 1
方法和技巧:
1.因式分解是不定方程中最基本的方法，其理論基礎是整數的唯壹分解定理。因式分解作為壹種解題手段，沒有確定的程序可循，只有通過具體的例子才能有深刻的理解。
2.同余法主要用於證明方程無解或導出解的必要條件，為進壹步求解或驗證做準備。同余的關鍵是選擇合適的模塊，需要多次嘗試；
3.不等式估計法主要針對壹個方程有整數解，就壹定有實數解。當方程的實解是有界集合時，重點考慮在有限的範圍內，至多有有限個整數解，逐壹檢驗，找出全部解。如果方程的實數解是無界的，就要以整數為中心，利用整數的各種性質生成適用的不等式。
4.無限下降法的論證核心是試圖構造方程的新解，使其“嚴格小於”選定解，從而產生矛盾。
第三，特殊方程
1.用分解法求不定方程ax+by = cxy (abc≠0)整數解的基本思想；
將ax+by = cxy變換為(x-a)(cy -b) = ab後，若ab可分解為AB = A _ 1B _ 1 = A _ 2B _ 2 =…= A _ IB _ I∈Z，則解的壹般形式如下。
特殊不定方程1的通解
，然後選擇它的整數解；
2.定義二:x^2+y^2 = z^2的方程稱為畢達哥拉斯數方程，其中x，y，z為正整數。
對於方程x^2+y^2 = z^2，如果(x，y) = d，則d 2 | z 2，所以我們只需要討論(x，y) = 1的情況。這時就很容易知道x，y，z是成對的，這個成對的正整數組叫做方程的本原解。
定理3。滿足條件2|y的勾股方程的所有解可以表示為:
(特殊方程1的勾股數方程)
其中a > b & gt0，(a，b) = 1，a和b是偶數和奇數。
推論:勾股方程(x和y的順序不可區分)的所有正整數解都可以表示為:
|其中a > b & gt0是壹對奇偶性不同的正整數，d是a。
(特殊方程的勾股數方程2)
整數
勾股不定方程的整數解問題主要根據定理求解。
3.定義3。方程x ^ 2-dy ^ 2 = 1，4 (x，y∈Z，正整數d不是平方數)是x^2-dy^2 = c的特例，稱為佩爾方程。
這類二元二次方程比較復雜，本質上歸結為研究雙曲方程x^2-dy^2 = c，其中c和d都是整數，d >；0不是平方數，c ≠ 0。主要用於證明問題有無數個整數解。對於壹個特定的d，可以通過試錯法得到壹個正整數解。如果上面的佩爾方程有壹個正整數解(x，y)，據說x+yd^0.5的最小正整數解就是它的最小解。
定理4。佩爾方程x x^2-dy^2 = 1 (x，y∈Z，正整數d不是平方數)必有正整數解，若其最小解為(x_1，y_1)，則其所有解可表示為:
(特殊方程1的佩爾方程)
上述公式也可以寫成以下形式:
(特殊方程的佩爾方程2)
(特殊方程的佩爾方程3)
(特殊方程的佩爾方程4)
定理5。Pell方程x ^ 2-dy ^ 2 =-1(x，y∈Z，正整數D不是平方數)要麽沒有正整數解，要麽有無窮組正整數解，在後壹種情況下，設其最小解為(x_1，y _ 65438+)。
(特殊方程的佩爾方程3)
|定理6。(費馬大定理)方程x^n+y^n = z^n (n≥3 n ≥ 3且為整數)沒有正整數解。
費馬大定理的證明壹直是數學界的難題，但在1994年6月，美國普林斯頓大學數學教授A .懷爾斯徹底解決了這個問題。至此，這個困擾了人們400多年的數學難題終於露出了真面目，脫下了神秘面紗。
5個簡單的例子
編輯
例1求11x+15y=7的整數解。
解1將方程轉化為11x=7-15y。
因為x是整數，所以7-15y應該是11的倍數。觀察到x0=2，y0=-1是這個方程的壹組整數解，所以方程的解是x0 = 2，y0 =-1。
解2先考察11x+15y = 1，通過觀察很容易得到。
11×(-4)+15×⑶=1,
因此
11×(-4×7)+15×(3×7)=7,
X0=-28，Y0 = 21。因此，
可見，無約束的二元線性不定方程通常有無數組整數解。由於特解的不同，同壹個不定方程的解的形式可以不同，但所包含的解都是相同的。如果將解中的參數t適當代入，可以變換成同樣的形式。
例2求方程6x+22y=90的非負整數解。
解因為(6，22) = 2，方程兩邊都除以2。
3x+11y=45。①
據觀察，x1=4，y1=-1是方程。
3x+11y=1 ②
的壹組整數解，使得方程①的壹組整數解為
根據該定理，方程①的所有整數解可以如下獲得
因為需要的是原方程的非負整數解，所以必須有
由於t是壹個整數，所以從③和④得到的是15≤t≤16，所以只有兩種可能:t=15和t=16。
當t=15，x=15，Y = 0；當t=16時，x=4，y = 3。所以原方程的非負整數解是
例3求方程7x+19y=213的所有正整數解。
這個方程的系數較大，很難通過觀測找到它的特解。在這種情況下，我們可以逐漸降低系數，最後通過觀察找到它的解。
求解方程
7x+19y=213 ①
最小系數7除以方程①的項，項移位得到。
因為x和y都是整數，所以3-5y/7=u也是整數，所以5y+7u = 3。t *5除以這個公式的兩邊。
2u+5v=3。④
由觀察可知，u=-1和v=1是方程④的壹組解。代入u=-1和v=1 ③得到Y = 2。Y = 2到②得到X = 25。所以方程①有壹組解x0=25，Y0 =
因為需要方程的正整數解，所以
解不等式時，T只能是0，1。因此，原方程的正整數解為
當方程的系數較大時，我們還可以通過相分求出其特解，並舉例說明了求解方法。
例4求方程37x+107y=25的整數解。
溶液107=2×37+33，
37=1×33+4,
33=8×4+1.
為了用37和107來表示1，我們把上面提到的折騰和劃分過程回代，得到
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
=37-9×(37-33)=9×33-8×37
=9×(107-2×37)8×37=9×107-26×37
=37×(-26)+107×9.
因此，x1=-26和y1=9是方程37x+107y=1的壹組整數解。因此
x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225
是等式37x+107y=25的壹組整數解。
所以原方程的所有整數解都是
例5某國有兩種硬幣:5分和7分。使用這兩種硬幣支付142美分有多少種不同的方式？
求解需要X塊7分，Y塊5分剛好付出142分，所以
7x+5y=142。①
因此
由於7x≤142，x≤20，從上式可知5 | 2 (x-1)。因為(5，2) = 1，5|x-1，所以x = 1，6。
因此，* * *有四種不同的支付方式。
說明當方程的系數較小時，且為非負整數解或實際問題時，此時解的組數往往較少，利用整除性和枚舉性，方程很容易求解。
多元線性不定方程可以轉化為二元線性不定方程。
例6求方程9x+24y-5z=1000的整數解。
設9x+24y=3t，即3x+8y=t，所以3t-5z = 1000。那麽原始方程可以簡化為
用前面的方法，①的解可以得到如下
②解決方法是
排除t，得到
大約1500年前，中國古代數學家張秋儉在他的著作《張秋儉數學名著》中提出並解決了著名的“壹百元買壹百只雞”的數學問題，通俗地說就是下面這個例子。
例7今天，每只公雞五元，每只母雞三元，每只雞三元。100元買了幾只雞？
解決壹只公雞，壹只母雞，壹只小雞各買X，Y，Z的問題，根據問題的含義建立方程組。
①簡化為15x+9y+z = 300。③
③-② 14x+8y=200，
即7x+4y = 100。
解決方案7x+4y=1
所以7x+4y=100的特解是
由定理可知，7x+4y=100的所有整數解為
從題的意思來看，0 < x，y，z & lt100，所以
由於T是整數，所以T只能是26，27，28，X，Y，Z也要滿足。
x+y+z=100。
t x y z
26 4 18 78
27 8 11 81
28 12 4 84
即可能出現三種情況:4只公雞，18只母雞，78只雞；或者8只公雞，11只母雞，81只小雞；或12只公雞，4只母雞，84只小雞。
6代數幾何
編輯
對於多項式不定方程，我們等價於求解代數簇上的有理點或整數點等等。這樣，壹個數論問題就轉化成了壹個幾何問題。這種觀點把數論和代數幾何聯系起來，是壹種重要的數學思想。對於代數曲線，對應的不定方程是否有解，是否有無窮多個解，與曲線的虧格密切相關。這就是著名的模態猜想(由偽命題證明)所包含的內容。
虧格為零的曲線是直線和二次曲線，它們對應於上述的壹次和二次不定方程。虧格1是壹條橢圓曲線，它的算術和代數幾何性質極其豐富。它聯系了數論、復分析、代數幾何、表示論等，是當代數學最重要的研究對象之壹。與此相關的是千年七大數學難題之壹的BSD猜想。
著名的費馬大定理的證明也與此有關。
7進展
編輯
在這壹領域取得了更重要的進展。但總的來說，人們對高於二次的多元不定方程了解不多。另壹方面，不定方程與數學的其他分支密切相關，如代數數論、代數幾何、組合數學等。不定方程問題在有限群論和優化設計中經常被提出，這使得不定方程這壹古老的分支繼續吸引著眾多數學家的註意，成為數論中的重要研究課題之壹。
不定方程
費馬和費馬大定理
皮耶·德·費瑪(1601 ~ 1665)，法國著名數學家，被譽為“業余數學家之王”。——費馬壹生沒有接受過專門的數學教育，數學研究只是業余愛好。然而，在17世紀的法國，沒有壹個數學家能與之匹敵:他是解析幾何的發明者之壹；對微積分誕生的貢獻僅次於艾薩克？牛頓，戈特弗裏德？威廉？在哪裏？萊布尼茨；他也是概率論的主要創始人；他也是繼承了17世紀數論世界的人。此外，費馬還對物理學做出了重要貢獻。費爾馬，壹代數學天才，是17世紀法國最偉大的數學家之壹。
費馬的家庭非常富有，所以他接受了良好而廣泛的教育。當時有壹種“買官”的風氣，所以費馬能夠做壹輩子官，而且官越做越大。
費馬雖然當過官，但對他來說，真正的職業是學術，尤其是數學。他熟悉法語、意大利語、西班牙語、拉丁語和希臘語，也有很多研究。他在語言方面的博學為他的數學研究提供了語言工具和便利，使他能夠學習和理解阿拉伯語和意大利語的代數和古希臘數學。正是這些，可能為費馬在數學上的造詣打下了良好的基礎。在數學上，費馬不僅可以在數學的王國裏自由遨遊，還可以站在數學的世界之外，鳥瞰數學。這不能絕對歸功於他的數學天賦，也和他的博學有關系。
費馬性格內向，謙虛安靜，不善於推銷自己，展示自己。因此，他生前很少出版自己的作品，甚至沒有出版過壹部完整的書。他的壹些文章總是匿名的。反映他成就的《數學集》在他死後由費馬的長子編輯出版。多虧了這個好兒子！如果不是他積極發表父親的數學著作，很難說費馬對數學有如此大的影響，被譽為“業余數學家之王”。
費馬做出了很多貢獻，但最著名的是費馬大定理。這是壹個類似哥德巴赫猜想的數學問題。下面就來說說吧。
費馬大定理的內容:
當整數n > 2時，關於x，Y，z，Y，z的不定方程。
X^n+y^n = z^n. (n n代表“n次方”)
沒有正整數解。
1637年，費馬在讀丟番圖算術的拉丁文譯本時，在第11卷第八個命題旁寫道:“不可能把壹個立方數除以兩個立方數之和，也不可能把壹個四次冪除以兩個四次冪之和，更不可能把壹個高於二次的冪壹般地除以兩個同次冪之和。在這方面，我確信我找到了壹個絕妙的證明，可惜這裏的空白處太小，寫不下來。”(拉丁文原文:“Cui us rei示範em mirabile m sane de Texi。漢考克保證金是非常有限的，不能隨意動用。”)畢竟費馬沒有寫證明，他的其他猜想對數學貢獻很大，激發了很多數學家對這個猜想的興趣。
1908年，德國Vlfsk宣布將65438+百萬馬克作為獎金，獎勵給第壹個在他死後100年內證明該定理的人。當時吸引了很多人來嘗試，提交自己的“證書”，但都沒有成功。
終於在1995年，也就是經過三個半世紀的努力，這個世紀數論難題被英國普林斯頓大學數學家安德魯解決了。懷爾斯和他的學生理查德？泰勒的成功證明了。證明使用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，伽羅瓦理論和赫克代數，讓人不禁懷疑費馬當年是否真的找到了正確的證明。
安德魯？懷爾斯因為成功證明了這個定理，獲得了1998的菲爾茲獎特別獎和2005年的邵逸夫數學獎。當然，他也得到了6.5438億馬克的獎金，因為還在規定的“破解期”內。
而懷爾斯證明費馬大定理的過程也很有戲劇性。他花了7年時間在不為人知的情況下獲得了大部分證據。然後在1993年6月，他在壹次學術會議上公布了他的證明，立刻成為世界頭條。但是在審批證書的過程中，專家們發現了壹個非常嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒隨後花了近壹年的時間試圖補救，最終成功在1994年9月懷爾斯放棄的壹種方法中。他們的證明發表在1995的en:數學年鑒上。