最小的素數是2，也是唯壹的偶數。第壹組素數排列如下:2，3，5，7，11，13，17，......
不是質數且大於1的正整數稱為合數。
素數表上的素數，請看素數表。
根據定義的公式:
設A=n2+b=(n-x)(n+y)，除了n-x=1之外沒有正整數。因此，有:
y =(b+NX)/(n-x)(x & lt；N-1)沒有正整數，那麽A就是素數。
因為x
詳見素數分布與不定方程互動百科。
[編輯本段]算術基本定理
算術基本定理:
任何大於1的正整數n都可以唯壹地表示為有限個素數的乘積:n=p_1p_2...p_s，其中p_1≤p_2 ≤...≤p_s是素數。
這個表達式也叫做n的標準分解。
算術基本定理是初等數論中最基本的定理。從這個定理可以重新定義兩個整數的最大公因數和最小公倍數的概念。
1不能稱為素數，因為要保證算術基本定理所要求的唯壹性。這個解釋可以在華的《數論導論》中找到。
[編輯本段]素數分布問題
素數分布是指素數在正整數集合或其特殊子集上的分布，如素數的個數等等。結果如下:
(1)歐幾裏得用反證法證明了素數的個數是無限的；歐拉也用解析的方法證明了這個結論。
(2)高斯提出了著名的素數定理(當時是個猜想，後來被證明了):設π(x)是不超過x的素數的個數，那麽極限(x趨於無窮大)。
lim π(x)/(x/Ln x)=1
比較好的近似公式是高斯提出的li(x)函數，即lim π(x)/lix=1。
在…之中
(3)狄利克雷證明了任何等差數列:a，a+d，a+2d，...a+nd，...(其中a和d互質)包含無限個素數。
(4)朗伯猜想(已證明):n和2n之間壹定有壹個素數，其中n是大於1的正整數。
十億以內素數的分布和概率
"10" |4 |40%
"100" |25 |25%
"1000" |168 |16.8%
"10000" |1229 |12.29%
"100000" |9592 |9.592%
"1000000" |78498 |7.8498%
"2000000" |148933 |7.44665%
"10000000" |664579 |6.64579%
"100000000" |5761455 |5.761455%
"200000000" |11078937 |5.5394685%
"300000000" |16252325 |5.41744167%
"400000000" |21336336 |5.334084%
"500000000" |26355877 |5.2711754%
"600000000" |31324713 |5.2207855 %
"700000000" |36252941 |5.17899157%
"800000000" |41146189 |5.143273625%
"900000000" |46009225 |5.1121361%
"1000000000" |50847544 |5.0847544%
可以看出，質數的比例減少，但總數增加。
可見素數的個數是無窮的，這個結論已經被古希臘數學家歐幾裏得在他的著作《幾何原本》中用歸謬法證明了。
[編輯本段]質數的構造
如何構造素數，即找到壹個只能產生素數的公式，是經典數論中的壹個重要課題。很多數學家都嘗試過這個問題。下面是壹些經典的例子。
(1)費馬定義的費馬數f _ n = 2 (2 n)+1。他猜想費馬數是壹個質數。但是歐拉證明了641可以被F5整除。到目前為止，人們還無法證明費馬數素數是否有無窮多個。有人推測，幾乎所有的費馬數都是合數。
(2)高斯證明了壹個正N邊形可以用尺子畫當且僅當N的所有奇素數因子都是費馬素數。特別是可以用直尺做出正七邊形。
(3)梅森定義的M_p = 2 p-1。他猜測當p是素數時，m _ p也是素數，稱為梅森素數。但是這個結論也被否定了。壹個重要的問題是:是否存在無窮多個梅森素數？這個猜想至今未被證實。
(4)壹個數n甚至是完美的當且僅當n可以寫成n = 2 {p-1} M_p，其中p和梅森數M_p都是素數。壹個重要的問題是:是否存在奇數完全數？
(5)歐拉和費馬構造了壹些多項式，這些多項式在壹定範圍內都取素數，如:f(n)= n ^ 2-n+41，n=1，2時都是素數，...,40.壹個有趣的問題是，有無窮多個素數可以寫成n ^ 2+1的形式。
(6)只產生素數的公式容易構造，但沒有理論意義。比如設B_n=((n-1)！+1)/n，其中{x}表示x的小數部分，[x]表示x的整數部分.所以函數f(n)=n+(n-2)[{-B_n}]只產生素數。這就是著名的威爾遜定理的運用，即“n是素數當且僅當(n-1)！+1能被n整除”。
(7)傳統的篩選方法使用了壹個定理:“N是壹個素數，如果它不能被任何不大於根號N的素數整除”。《代數詞典》，上海教育出版社，1985，第259頁。見百度素數通式可以用公式表示，見以下篩選方法。
【編輯本段】關於質數的各種猜想
上面我們已經提到了幾種猜想，比如梅森素數無限猜想，費馬有限素數猜想等等。以下是其他壹些重要的猜想。
(1)黎曼猜想。黎曼通過研究發現，素數分布的大部分猜想依賴於黎曼ζ函數ζ(s)的零點位置。他猜想那些非平凡的零點都落在復平面上與1/2的實部在壹條直線上，這被譽為千年世界七大數學難題之壹，也是解析數論中的壹個重要課題。
(2)孿生素數猜想。如果P和p+2都是素數，那麽它們叫做孿生素數。壹個重要的問題是:是否存在無限對孿生素數？這個問題至今沒有突破。
(3)哥德巴赫猜想(a)所有不小於6的偶數都可以表示為兩個奇素數之和(壹般用代碼“1+1”表示)。
(b)每個不小於9的奇數都可以表示為三個奇素數之和。
問題的第二部分，用解析數論中的圓法估計，已被證明。真正的困難是第壹部分。
[編輯此段]哥德巴赫猜想的歷史進展
哥德巴赫猜想是由德國數學家c .哥德巴赫(1690-1764)在1742年6月7日給大數學家歐拉的壹封信中提出的，故稱哥德巴赫猜想。同年6月30日，歐拉回復說，這個猜想可能是真的，但他無法證明。從那以後，這個數學問題吸引了幾乎所有數學家的註意。哥德巴赫猜想也因此成為數學皇冠上壹顆高不可攀的“明珠”。
在18和19世紀，所有數論專家直到20世紀才在證明這個猜想上取得實質性進展。直接證明哥德巴赫猜想不成立，人們采取了“迂回戰術”，即先考慮把偶數表示為兩個數之和，每個數是幾個素數的乘積，稱為“幾乎素數”，也就是像素很少。如果把命題“每個大偶數都可以表示為壹個不超過壹個質因數的數和壹個不超過b個質因數的數之和”記為“a+b”，那麽科裏奧利猜想就是證明“1+1”成立。
“足夠大的偶數”陳景潤指的是10的5000000次方，即10後加500000個零。哥德巴赫猜想至今沒有實質性進展。
1920，挪威布朗證明“9+9”。
1924年，德國的Latmach證明了“7+7”。
1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”。
1937年，意大利的萊西先後證明了“5+7”、“4+9”、“3+15”、“2+366”。
1938年，蘇聯的布克希泰伯證明了“5+5”。
1940年，蘇聯的布克希泰伯證明了“4+4”。
1948年，匈牙利的裏尼證明了“1+c”，其中c是壹個大的自然數。
1956年，中國的王元證明了“3+4”。
1957年，中國王元先後證明了“3+3”和“2+3”。
1962年，中國的潘承東和蘇聯的巴爾巴證明了“1+5”，中國的王元證明了“1+4”。
1965年，蘇聯的布赫希·泰伯和小維諾格拉多夫，以及意大利人彭伯裏證明了“1+3”。
1966年，中國陳景潤證明了“1+2”。
【編輯本段】素數的幾種英文解釋
1.在數學中，壹個素數(或稱質數)是壹個大於壹的自然數，其唯壹的正約數是壹和它本身。簡而言之:質數是恰好有兩個自然數因子的自然數。大於壹並且不是質數的自然數叫做合數。數字0和1既不是質數，也不是合數。素數的性質叫做素性。質數在數論中是非常重要的。[來自維基百科]
2.不能被除了它自己和壹之外的任何整數整除而沒有余數的整數。[來自美國傳統詞典]
3 .除0或1之外的任何整數，它不能被除1和整數本身之外的任何其他整數無余數整除。【來自韋氏詞典的合議？字典]
4 .只能被自身和數字壹整除的數。例如，三和七是質數。【摘自朗文當代英語詞典】
[編輯本段]篩選方法
篩選法是尋找所有不超過自然數n (n > 1)的素數的方法。據說是古希臘的厄拉多塞(約公元前274 ~ 194年)發明的，又稱厄拉多塞篩。
具體方法是:首先將n個自然數按順序排列。1不是質數，也不是合數，應該劃掉。第二個數2是質數，2之後所有能被2整除的數都劃掉了。2後面第壹個沒劃掉的數是3，留3，然後劃掉3後面所有能被3整除的數。3後面第壹個沒劃掉的數是5，留5，然後劃掉5後面所有能被5整除的數。如果妳壹直這樣做，妳會過濾掉所有不超過n的合數，留下所有不超過n的質數，因為希臘人是在蠟板上寫數字的，他們每劃掉壹個數字，就在上面寫點。在求素數的工作完成後，許多點就像壹個篩子，所以厄拉多塞的方法被稱為“厄拉多塞篩”，或簡稱“篩法”。另壹種解釋是，當時的數字是寫在紙莎草紙上的，每劃掉壹個數字，就挖出壹個數字。求素數的工作做完後，這些小孔就像篩子壹樣。)
篩分方法與配方的關系；
素數通式:公元前250年，古希臘數學家埃拉托塞尼提出了壹種篩選方法:
(a)“要得到所有不大於壹個自然數N的素數，只需在2 - N中劃掉所有不大於√N的素數的倍數”。
(2)上述內容的等價轉換:“如果n是壹個合數，它有壹個滿足1的因子d
(3)對(2)內容的等價轉換:“若自然數N不能被任何不大於(根號)√N的素數整除，則N為素數”。見(代數大辭典[上海教育出版社]1985。《抽屜》由甄主編。第259頁)。
(4)這句話的漢字可以等價地轉換成用英文字母表示的公式:
n = p 1m 1+a 1 = p2m 2+a2 =......=pkmk+ak .(1)
其中p1，p2，...，pk代表順序質數2，3，5，，，，。答≠0 .即n不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0。如果n的平方(k+1)【註:以下1，2，3，...，K，(k+1)都是足印，而且因為不能打印，所以字母後面的數字或者I和K都是足印]，那麽n就是壹個素數。
(5) (1)可以等價地轉換成壹組同余式:
N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N AK(modpk)。(2)
比如29，29不能被根號29以下的任何素數2，3，5整除，29 = 2x 14+1 = 3x 9+2 = 5x 5+4。29≡1(模2)，29≡2(模3)，29≡4(模5).29小於7的平方49，所以29是壹個質數。
以後的平方用“*”表示，即㎡=m*。
因為(2) p1，p2，...，pk是兩兩互質，根據孫子定理(中國剩余定理)，(2)在p1p2範圍內有唯壹解...PK。
比如當k=1，N=2m+1，解是N=3，5，7。得到了(3，3 *)區間內的所有素數。
當k=2時，N=2m+1=3m+1，解為n = 7，13，19；N=2m+1=3m+2，解為n = 5，11，17，23。獲得了(5，5 *)區間內的所有素數。
當k=3時，
- | 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3，| 5m+4。|
- | - | - | - | - |
n = 2m+1 = 3m+1 = |-31-|-7，37-|-13，43| - 19 - |
n = 2m+1 = 3m+2 = |-11，41-|-17，47-| - 23 - | - 29 - |
-
得到(7，7 *)區間內的所有素數。
如果繼續這樣下去，我們可以找到任何壹個大數內的所有質數。