我們假設某個量被等精度獨立觀測了n次，觀測值為l1，l2，l3，…，ln。其算術平均值為
建築工程測量
我們認為算術平均值是壹組相同精度的觀察值中最可靠的值。為什麽？可以用偶然誤差的特性來證明。
設觀測真值為x，則觀測真誤差為
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公式(5-8)兩端之和除以n得出
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從公式(5-7)中，我們知道x=被代入上述公式，並且該項被平行移動，因此我們得到
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當觀察次數n無限增加時，根據偶然誤差特性，有
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因此
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所以當n無限增加時，算術平均值接近真值。如果n是壹個有限的次數和壹個微小的量，算術平均值x仍然比觀測值更接近真實值。我們稱最接近真實值的近似值為“最可能值”(或“最可靠值”)。
二、觀測改正數
最可能觀測值與觀測值之差稱為“觀測改正數”。等精度觀測時，算術平均值x與觀測值l之差就是觀測值的校正數v。有
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將以上類型的兩端相加得到。
[V]=nx-[l]
從公式(5-7)可知，NX = [L]，代入上式，我們得到
[V]=0 (5-10)
方程(5-10)顯示了觀測值改正的壹個重要特征，即在等精度觀測中，觀測值改正之和為零，這可以作為計算中的壹種校核。如果算術平均值的計算存在舍入誤差，則修正數之和小於等於0.5n，即∑ V小於等於0.5n，n為觀測值個數。
3 .通過觀測值修正數計算觀測值的誤差。
在實際工作中，觀測值的真值x往往是未知的。在等精度觀測中，壹般只知道觀測值的算術平均值x和改正數v，所以不能用公式(5-4)計算中誤差。在這種情況下，真誤差可以用V代替，觀測值的平均誤差可以用下面的公式計算。
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上述公式的證明如下:
從(5-8)和(5-9)，我們可以得到
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將上述類別兩端的方塊相加得到。
[δδ]=[VV]+n(X-X)2-2(X-X)[V](b)
因為[v] = 0，(x-X)是算術平均值的真實誤差。設δ=(x-x)並將其代入公式(b)
[δδ]=[VV]+nδ2(c)
將兩端除以n
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將(a)中的所有項目相加，得到
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將公式(e)的兩端平方
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Δ1Δ2, Δ2Δ3, ...是偶然錯誤的產物。當觀察次數無限增加時，這些乘積也具有偶然誤差的特性，所以有
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從式(5-4a)也可知，將此式和式(g)代入(d)得到。
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整理後，即得到。
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完成證書。
四、算術平均誤差
算術平均值x的平均誤差m可以通過下面的公式計算。
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或者
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簡單證明壹下。
方程(5-12)表明，算術平均值的中位誤差m僅為該組中任壹觀測值的誤差m，即其精度得到提高。可以看出，增加壹個量的觀測次數，取其平均值，可以提高精度。但是，當增加的次數多時，不僅工作量大，而且準確度的增加也趨於緩慢。例如，當n=16時，精度是觀測誤差的1/4倍，當n=36時，觀測次數比n=16時增加了20倍，但精度只比前者高2倍。因此，當要求高精度時，在可能的情況下，應考慮更精密的儀器和改進的觀測方法。
例5-1有壹定距離。在相同觀測條件下，用30m鋼尺測量4次，結果見表5-2第二欄。找出這個距離及其誤差的最可能值。
表5-2
解決方法:為了消除系統誤差，將標尺長度、溫度、傾斜度的修正數相加得到修正長度。校正後的長度主要包含偶然誤差。因為是等精度的觀測，所以取其算術平均值作為最可能值，得到。
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觀測值修正數和平均誤差的計算見表5-2。M = 5.8 mm，這是任何觀測值的平均誤差；M = 2.9 mm，為算術平均值的平均誤差。最後的結果是
x = 89.574m米2.9毫米
相對平均誤差為
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例5-2使用同壹臺經緯儀，用回測法觀測壹個水平角，回測* * *五次。結果如表5-3所示。求水平角的最可能值及其誤差。
表5-3
解:因為是等精度的觀測，所以它的算術平均值是最可能的值。為了使計算簡單，取初始值x0 = 64 21' 00 "，則
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改正數和觀測值平均誤差的計算見表5-3。第壹次調查觀測值的中誤差為m m= 19.5″，算術平均值的中誤差為m = 8.7。所以最終結果是x = 64 21′06″8.7″。因為角度觀測誤差與角度大小無關，所以不需要計算相對中位誤差。