當起始點在區域V中並且軌跡都保持在區域U(附近)中時，系統在處是李亞普諾夫穩定的。
在數學和自動控制領域，李亞普諾夫穩定性(英文)可以用來描述壹個動態系統的穩定性。如果這個動力系統的軌跡在任何初始條件下都能保持在附近，那麽這個系統就可以稱為李亞普諾夫穩定到位。
如果任何初始條件最終逼近附近的軌跡，那麽系統可以稱為處處漸近穩定。指數穩定性可以用來保證系統的最小衰減率，也可以用來估計軌跡收斂的速度。
李亞普諾夫穩定性可用於線性和非線性系統。然而，線性系統的穩定性可以通過其他方式獲得，因此李亞普諾夫穩定性主要用於分析非線性系統的穩定性。李亞普諾夫穩定的概念可以推廣到無限流形，即結構穩定，這是微分方程中考慮壹組不同但“接近”的解的行為。輸入狀態穩定(ISS)是將李亞普諾夫穩定應用於具有輸入的系統。
歷史
這種穩定性是以俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫的名字命名的，他在1892年發表了博士論文《運動穩定性的壹般問題》，論文中給出了穩定性的科學概念、研究方法和相關理論。李亞普諾夫第壹個認為有必要根據非線性系統中穩定點的線性化來修改線性穩定性理論。他的作品最初以俄文出版，後來被翻譯成法文，多年來壹直默默無聞。人們對它的興趣是在冷戰初期(1953到1962)突然開始的，因為所謂的“李亞普諾夫第二方法”被認為適用於航天制導系統的穩定性，這種系統通常包含很強的非線性，其他方法都不適用。此後，大量相關出版物出現並進入控制系統文獻。最近，李雅普諾夫指數的概念(也是李亞普諾夫穩定性的第壹種方法)引起了廣泛的興趣，並與混沌理論相結合。
連續時間系統下的定義
考慮壹個自治的非線性動態系統。
,
其中是系統的狀態向量，是原點的開鄰域，在值域中連續。我們可以不失壹般性地假設原點是壹個平衡點。
1.上述系統的起源是李亞普諾夫穩定的條件是:對於每壹個，它都存在，以便在條件下，只要，那麽。
2.上述系統的原點漸近穩定的條件是原點是李亞普諾夫穩定的，並且兩者都存在，這樣在的條件下。
3.上述系統的原點是指數穩定的條件是原點是漸近穩定的，且存在的條件是，只要，那麽。
以下是對上述數學定義的解釋:
1.壹個平衡點是李亞普諾夫穩定的，這意味著如果壹個解的初值“足夠接近”平衡點(離平衡點的距離為)，那麽它的解將始終保持在平衡點附近(離平衡點的距離不大於)，並且這個條件對於任意壹個都必須成立。
2.漸近穩定是指初始值接近平衡點，不僅停留在平衡點附近，而且最終收斂到平衡點。
3.指數穩定性是指解最終會收斂到平衡點，且收斂速度不慢於壹個已知速度。
(該區域的)軌跡x是吸引的，下面的等式適用於所有足夠接近的軌跡y
為
如果上述條件對所有軌跡都成立，那麽X是全局吸引的。
因此，如果X在穩定流形中，X漸近穩定的條件是吸引的和穩定的。(但是，吸引不代表漸近穩定，利用同宿軌道也可以產生類似的反例。)
叠代系統下的定義
離散時間系統的穩定性定義和連續時間系統的幾乎壹樣。下面是它的定義，但是用了很多數學書上用的定義。
設是測量空間的連續函數。關鍵是李亞普諾夫的穩定。如果它對每個都存在，當下列條件成立時，它對所有都成立。
下面的公式成立。
在…之中
如果它在壹個穩定的流形內，則稱為漸近穩定。也就是說，存在使得並且下面的公式成立。
李亞普諾夫穩定性理論
對微分方程解的穩定性的研究稱為穩定性理論。然而，李亞普諾夫穩定性定理只提供了穩定性的充分條件。
李亞普諾夫穩定性第二定理
考慮壹個函數V(x): Rn→R使得
僅當等號成立時(正定函數)
(否定判定)
則V(x)稱為李亞普諾夫函數候選，系統漸近穩定。
上述公式是必要條件。否則可以用來“證明”地區穩定。另壹個稱為徑向無界的條件用來獲得全局漸近穩定的結果。
這種分析可以類比考慮壹個物理系統(如彈簧和質量系統)及其能量。如果系統的能量隨著時間而減少，而減少的能量得不到恢復，那麽系統最終肯定會停留在某個狀態。最後的狀態叫做吸引子。但是，對於壹個物理系統來說，不壹定容易找到壹個函數來表達其精確的能量，而對於壹個抽象的數學系統、經濟系統或生物系統來說，能量的上述概念可能並不適用。
利用李亞普諾夫的分析方法，可以在不知道系統實際能量的情況下證明系統的穩定性，但前提是我們能找到壹個滿足上述限制的李亞普諾夫函數。
例如，考慮下面的系統。
希望用李亞普諾夫函數來確定附近的穩定性。制造
本身是正定函數，V(x)的導函數如下
它是負定函數，所以上述系統在附近是漸近穩定的。
線性系統狀態空間模型的穩定性
線性狀態空間模型
是漸近穩定的(事實上，指數穩定)，如果
的解決方案存在。
其中and(正定矩陣)。(對應的李亞普諾夫函數是)
具有輸入值系統的穩定性
具有輸入(或受控)的系統可以表示如下
輸入u(t)可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這類系統的研究是控制理論研究的課題之壹，在控制工程中也有應用。
對於有輸入的系統，需要量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中將使用BIBO穩定性作為分析工具，在非線性系統中將使用輸入狀態穩定性。