選擇函數的域

選擇函數是壹個函數F，它的定義域X是由壹堆非空集組成的集合，對於X內的每壹個S，f(S)將屬於S .換句話說，F將在X的每壹個集合中選擇壹個且僅壹個元素.選擇公理(AC)描述了每壹個非空集都有壹個選擇函數。另壹個弱選擇公理——可數選擇公理(CC)描述了每壹個由非空集組成的可數集合都會有壹個選擇函數。但無論如何，即使沒有AC或CC，壹些設置仍然可以有選擇功能。如果X是由非空集組成的有限集，可以建立壹個選擇函數，從每個X元素中選擇壹個元素。這只需要有限的幾個選擇，所以不需要有兩個公理:AC和CC。如果x的每壹個元素都是良序非空集，那麽就有可能從x的每壹個元素中選取它的極小元素，這樣可能有無限個選擇，但是有壹個選擇，那麽AC和CC就不用再有了。區分“良序”和“良序”是非常重要的:當X的元素都是良序時，他們將需要為每個元素選擇壹個良序，這可能需要無限個隨機選擇，所以需要AC(或者CC，如果X是可數無窮大的話)。如果X的每個元素都是非空集，並且它的並集是良序的，則可以選擇壹個良序的並集，並將其推導到X中每個元素的良序，這樣選擇函數就可以像前面的例子壹樣存在。在這個例子中，可以只進行壹次選擇來確定X中每個元素的良好順序，因此不需要AC和CC。(這個例子展示了良序定理，即如果每個集合都可以是良序的，那麽AC存在。反之，當然感就少了。)