分數，連小學生都知道，比如1/2，3/5。但是妳知道嗎，還有壹個單分子分數，就是分子是1，分母是任意數。這個分數被稱為埃及分數，或單分子分數。
和中國壹樣，埃及也是世界上著名的文明古國。在考察古埃及歷史時，人們註意到像阿基米德這樣的數學大師其實研究過埃及的分數。本世紀壹些最偉大的數學家也研究埃及分數。比如沃爾夫數學獎獲得者保羅·歐德斯提出了著名的猜想4/n = 1/x+1/y+1/z，難倒了世界壹流的數學家。當9個面包要平均分給10人時，古埃及人並不知道每個人可以得到9/10，而是說每個人可以得到1/3，1/4，1/5，1/12650。很難想象。妳連9/10都不知道。怎麽知道9/10 = 1/3+1/4+1/5+1/12+65444？所以幾千年來，數學史家壹直堅持古埃及人不用分數。
1858年，蘇格蘭考古學家萊頓買了壹份古埃及紙莎草文件。經鑒定，它是由尼羅河泛濫形成的池塘和沼澤中茂盛生長的草制成的。成書年代約為公元前1700年。
那麽，古埃及的人是怎麽計算的呢？先把兩個物品分成四份1/2，先給每個人1 1/2，然後把剩下的1 1/2分成三等份，把結果平分，每個人會得到1/2加上1/2。這張至今保存在大英博物館的“萊頓”紙莎草紙，記錄了大空間中真分數分解為單分子分數的過程。這種運算方法受到了現代數學家的批評，認為分數運算的復雜性是埃及人未能將算術和代數發展到更高水平的原因之壹。
埃及的金字塔舉世聞名，這表明古埃及人有高超的建築技術和非凡的智慧。最簡單的現代樂譜妳都不懂嗎？《金塔》是粗制濫造的作品嗎？
現代數學已經發展到非常抽象和復雜的程度，但埃及人的分數如此粗糙，應該已經在人們的記憶中消失了。然而，它所造成的問題今天仍然引起人們的註意。
四川大學已故老校長柯昭曾寫道:“埃及標記引起的壹些問題，成了未解的難題和猜想，難倒了許多當代數學家。”。柯昭本人直到去世也沒有證明這個猜想。
壹個古老的傳說是:
老人臨終時把11匹馬給了三個兒子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。壹半是五匹半馬，我們殺不了。在我們束手無策的時候，鄰居自己帶了馬，壹半人帶了六匹。老二四分之壹帶走了三匹馬；老三的六分之壹帶了兩匹馬。壹個***11的馬，分完之後鄰居把他的馬拿回來了。即11/12 = 1/2+1/4+1/6。
精彩的埃及樂譜終於調動了它潛在的難度，打敗了那些敢於輕視它們的人。並給嘲笑他的人尷尬的答案。
兩千多年後，數學家終於發現:2/n = 1/[(n+1)/2]+1/[(n+1)n/2]；1/n = 1/(n+1)+1/[n(n+1)]；1=1/2+1/3+1/6。這時，我從大夢中醒來。埃及的樂譜以強大的生命力屹立於世界，讓3000年後的數學家們嘖嘖稱奇。比如我們能不能設計(n-1)/n = 1/x+1/y+1/z..經過2000多年的努力，我們終於揭開了秘密:有六種可能，七種劃分方式。7/8=1/2+1/4+1/8;11/12=1/2+1/4+1/6=1/2+1/3+1/12;17/18=1/2+1/3+1/9;19/20=1/2+1/4+1/5;23/24=1/2+1/3+1/8;41/42=1/2+1/3+1/7。壹開始人們以為這樣的情況大概有無限多種，但是繼續追求卻壹無所獲，真的讓人捉摸不透。黑龍江官春河發現* * *病例43例。這是正確的。
當分母為奇數時，“1”分解為埃及分數，項數限制為9，* * *有5組解:
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385。
以上五組解決方案只在1976找到。當限定為11時，發現1組解的最小分母為105。如果大於105，有很多解決方法。
1/n型分數也可以表示為級數分解公式:
1/n=1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3+1/(n+1)^4+....+1/(n+1)^k+1/n(n+1)^k.
埃及分數成了不定方程中壹顆耀眼的明珠。
埃及分數最著名的猜想是Erods猜想:1950年。對於正整數n > 1，總有4/n = 1/x+1/y+1/z(1)。
其中x、y和z都是正整數。
Stralss進壹步猜想，當n≥2時，方程的解x，y，z滿足x≠y，y≠z，z ≠ x. x〈y〈z .
在1963中，趙克、孫棋和張顯爵證明了Erods猜想與stralss猜想是等價的。幾年後，yamanot將結果發展到10的七次方。後來有數學家把結果往前推，壹直沒有得到根本解。對於4/n = 1/x+1/z，我們只需要考慮n=p是素數的情況，因為如果(1)成立，對於任意整數m，m > 1，
4/pm = 1/XM+1/ym+1/zm，也是這個道理。
2002年有人提出了壹個更強的命題:設x=AB，y=AC，Z=ABCp。(B)C)
4/P = 1/AB+1/AC+1/ABCP(2)
所有奇素數都可以表示為4R+1和4R+3兩種類型。對於式p=4R+3，公式(2)顯而易見，因為此時A=(p+1)/4，B=1。C=P+1。。
即:4/P = { 1/[(P+1)/4]}+{ 1/[(P+1)(P+1)/4]} { 65438 }
例如:4/7 = 1/2+1/16+1/12。
對於p=4R+1類型的素數，公式(2)排列為:4ABC=PC+PB+1 (4)。
A = (PC+PB+1)/4BC (5)
在式(5)中，要得到B|(PC+PB+1)，就要使B|(PC+1)，讓PC+1 = TB；要得到C|(PC+PB+1)，就要使C|(PB+1)，讓p b+ 1 = SC；對於形狀P=4R+1，如果想要4|p(C+B)+1]，需要C+B = 4K-1；對於形狀P=4R+3，需要4|[P(C+B)+1]。因此，形成了二元線性不定方程組:
-PC+TB=1 (6)
SC+(-P)B=1 (7)
比如當p=17，A=3，B=2，C=5，T=43，S=7，k=2。
4 /17=[1/(2×3)]+[1/(3×5)]+[1/(3×2×5×17 )]
即4/17 = 1/6+1/15+1/510。
等效於以下公式:
(-17)×5+43×2=1
7×5+(-17)×2=1
因為對於二元線性不定方程，我們有辦法。根據上海教育出版社1985 (376頁)《代數詞典》:
方程式:ax+by=c
a'x+b'y=c '
公* * *解(整數解)x，y的充要條件是(ab'-a'b)不等於0，(ab '-a ' b)|(BC '-b ' c)|(ab '-a ' b)|(ca '-c ' a)。"
讓我們把(6)和(7)中的C和B作為上面(6)中的X，y .只要(p，t)= 1；b和c有無窮多組整數解；在(7)中，只要(P，S)=1，就有b和c的整數解，根據13頁到17頁的已知定理(柯昭，，講不定方程)可知，方程(6)和(7)必有壹個共同的整數解(利用矩陣、單位模變換等知識)。即ST-P*P≠0，(ST-P * P)|(P+t)；(ST-P*P) | (P+S).為什麽會有解決方案？只要壹個素數有解，其他素數壹定有解。在中國象棋中，馬可以從起點跳到所有點，所以馬可以跳到任何壹點。因為馬可以從任何壹點撤退。
下面是壹些p值的解法:
- |
- p - | - A - | - B - | - C - | - T - | - S - | - K - |
- |
- 5 - | - 2 - | - 1 - | - 2 - | - 11 - | - 3 - | - 1 - |
-29 - | - 2 - | - 4 - | - 39 - | - 283 - | - 3 - | - 11 - |
-37 - | - 2 - | - 5 - | - 62 - | - 459 - | - 3 - | - 17 - |
-53 - | - 2 - | - 7 - | - 124 - | - 939 - | - 3 - | - 33 - |
-61 - | - 2 - | - 8 - | - 163 - | - 1243 - | - 3 - | - 43 - |
-173-| - 2 - | - 22 - | - 1269 - | - 9979 - | - 3 - | - 323 - |
-
以上是P=4R+1，r為奇數時的解。這時，a = 2；S=3 .
-
-17 - | - 3 - | - 2 - | - 5 - | - 43 - | - 7 - | - 2 - |
-41 - | - 12 - | - 1 - | - 6 - | - 247 - | - 7 - | - 2 - |
-41 - | - 6 - | - 3 - | - 4 - | - 55 - | - 31 - | - 2 - |
-73 - | - 10 - | - 2 - | - 21 - | - 767 - | - 7 - | - 6 - |
- 97 - | - 17 - | - 2 - | - 5 - | - 243 - | - 39 - | - 2 - |
-113-| - 5 - | - 6 - | - 97 - | - 1827 - | - 7 - | - 26 - |
-409-| - 59 - | - 2 - | - 13 - | - 2659 - | - 63 - | - 4 - |
-409-| - 22 - | - 5 - | - 66 - | - 5399 - | - 31 - | - 18 - |
-409-| - 11 - | - 11 - | - 60 - | - 2231 - | - 75 - | - 18 - |
-
以上是p=4R+1，r為偶數時的解。
41有兩個解；409有三套解決方案。也就是說4/41 = 1/(12×1)+1/(12×6)+1/(12×65438
4/41=1/(6×3)+1/(6×4)+1/(6×3×4×41)=1/18+1/24+1/2952。
-41×6+247×1=1
7×6+(-41)×1=1
和第二組解決方案；
-41×4+55×3=1
31×4+(-41×3)=1
(2)公式對所有p值都有解，但不是所有解。(比如4/41有七組解，而公式(2)只證明了4/p = 1/AB+1/AC+1/ABCP。
的形式解。請註意萬能解和所有解的區別。
20世紀70年代，人們提出了5/P的情況，所有的素數P都可以表示為5R+1。5R+2；5R+3；5R+4形狀。
對於P= 5R+4，5/(5R+4)= 1/(r+1)+1/[(5R+4)(r+1)]
任意壹個:1/n = 1/(n+1)+1/[n(n+1)]。
比如5/9=1/2+1/18和1/2 = 1/3+1/6；或者1/18 = 1/19+1/(18×19)。
對於P=5R+3，5/(5R+3)= 1/(r+1)+2/[(5R+3)(r+1)]。
其中任意壹個:2/n = 1/[(n+1)/2]+1/[n(n+1)/2]
比如5/13=1/3+2/39，2/39 = 1/[(39+1)/2]+1/[39×(39+65438)。
對於P=5R+2，5/(5R+2)= 1/(r+1)+3/[(5R+2)(r+1)]。
R必須是奇數,( R+1)必須是偶數。
and:3/[(5r+2)(r+1)]= 1/[(5r+2)(r+1)]+1/[(5r+2)(r+65438+)
比如5/37 = 1/8+3/(37×8)；和3/(37×8)= 1/(37×8)+1/(37×4)。
對於P=5R+1，
設5/p = 1/AB+1/AC+1/ABCP(8)。
5ABC=PC+PB+1 (9)
A=(PC+PB+1)/5BC (10)。
也可以整理成(6)和(7)，也有解決方法。B+C=5K-1形狀。
下面是p=5R+1的素數的壹些解法。
5/11 = 1/3+1/9+1/99，A=3，B=1，C=3，T=34，S = 4；
5/31 = 1/7+1/56+1/1736，A=7，B=1，C=8，T=248，S = 4；
5/41 = 1/9+1/93+1/11439，A=3，B=3，C=31，T=424，S = 4；
5/61 = 1/14+1/95+1/81130，A=1，B=14，C=95，T=414，S = 9；
5/71 = 1/15+1/267+1/94785，A=3，B=5，C=89，T=1264，S = 4；
5/101 = 1/21+1/531+1/375417，A=3，B=7，C=177，T=2554，S = 4；
5/131 = 1/27+1/885+1/1043415，A=3，B=9，C=295，T=4294，S = 4；
方法同4/P，請自行完成。
為什麽公式(6)和(7)壹定能有解？
兩個二元線性不定方程:
a1x+b1y=1
a2x+b2y=1。
有解的充分條件是(a 1 B2-a2 b 1)|(a 1-a2)；(a 1 B2-a2 b 1)|(B2-b 1)。
讓我們檢查壹個二元線性不定方程:
ax+by=1。(14)
根據已知定理，只要(a，b)=1，(14)有整數x，y的解，並且有無窮多組解。
例如，5x-2y=1。
x；y
-
1, 2;
3, 7;
5, 12;
7, 17;
9, 22;
11,27;
13,32;
15,37;
17, 42;
19, 47;
...........
換句話說，在公式(14)中，X和Y也是質數。這是聯立方程有公共解的基礎。現在讓我們用x和y交換a和b，
以上面的例子為例。將5x-2y=1替換為5a-2b=1，x=5，y=2。
3x-7y=1
17x-42y=1
形成壹個二元二元線性不定方程。
5x-12y=1
19x-47y=1
7x-17y=1
形成三元二元線性不定方程。
(4)公式可以表示為壹個素數公式:
p=(4ABC-1)/(C+B).比如當p=41，41 =(4x 6 x3 x 4-1)/(4+3)；41 =(5x3x 3x 31-1)/(31+3)；
41 =(6x 1x8x 47-1)/(8+47)；41 =(7x 1x7x 36-1)/(7+36)；41 =(8x 6 x 1x 6-1)/(1+6)；41 =(9x 1x6x 19-1)/(6+19)；
41 =(10x 1x6x 13-1)/(6+13)；41 =(11x 1x4x 55-1)/(4+55)；；41 =(12x4x 1x 6-1)/(1+6)；；41 =(13x 1x4x 15-1)/(4+15)；
41 =(14x 1x3x 124-1)/(3+124)。。直到n = 15:41 =(nABC-1)/(B+C)都有效。
人們接著問:壹切都是n嗎
p=(nABC-1)/(B+C)。
含有三個未知變量的素數公式可以找到所有的素數:
P=(4ABC-1)/(B+C)。(15)。
等式(15)可以用於p=4r+1形式的所有素數。
比如17。:17 =(4x3x2x 5-1)/(2+5)。
方程(15)對於p=4r+3，A=(P+1)/4，B=1，C=P+1形式的所有素數。比如11 =(4x3x 1x 12-1)/(1+12)。
對於復數n=4r+3的形式。n=(4xBXC-1)/(B+C)。
比如51 =(4x 13x 664-1)/(13+664)。B=(P+1)/4，C=n(n+1)/4+1。
其實這個問題遠沒有解決。
埃及樂譜，這個曾經被人們看不起的古老學科，蘊含著豐富的內容，許多新奇的奧秘等待著人們去揭開。