在中國，直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方的特性被稱為勾股定理或畢達哥拉斯定理。是壹個基本的幾何定理，傳統上認為是古希臘的畢達哥拉斯證明的。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，把壹百頭牛斬首以示慶祝，所以也叫“百牛定理”。在中國，《周快舒靜》記載了勾股定理的壹個特例，據傳是商代的商高發現的，所以也叫商高定理。三國時期的趙爽在《周髀算經》中對勾股定理做了詳細的註釋作為證明。法國和比利時叫驢橋定理，埃及叫埃及三角。在中國古代，直角三角形的較短的直角邊叫鉤，較長的直角邊叫弦，斜邊叫弦。原證明有分歧。設A和B是直角三角形的直角邊，C是斜邊。考慮下圖中兩邊都是a+b的正方形A和B。把A分成六份，B分成五份。由於八個小直角三角形全等，從等值中減去等值，可以推導出斜邊的平方等於兩個直角邊的平方之和。這裏，B中的四邊形是邊長為c的正方形，因為直角三角形的三個內角之和等於兩個直角。上述證明方法稱為減法同余證明方法。
圖表B是每周並行計算經典中的“弦圖”。
下圖是H. Perigal在1873中給出的證明，是壹種加法同余證明方法。其實這個證明是重新發現的，因為Labitibn Qorra (826 ~ 901)已經知道了這個除法。(比如右圖)下列證明之壹是H？e？是杜德妮在1917給的。也是壹種加同余的證明方法。
如右圖所示，邊長為b的正方形面積加上邊長為a的正方形面積等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法據說是L？達？Vinci(1452 ~ 1519)設計的，用的是減法同余的證明方法。
歐幾裏得在《幾何原本》第壹卷命題47中對勾股定理給出了極其巧妙的證明，比如下壹頁的圖片。因為圖形漂亮，有人叫它“修士的頭巾”，也有人叫它“新娘的轎子”，真的很有意思。華教授曾建議把這張照片送到宇宙中去與“外星人”交流。證明的大綱是:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL .
類似地，(BC)2=KEBL
因此
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家和天文學家巴斯卡拉(活躍在1150左右)給出了勾股定理的壹個精彩證明，也是壹個分裂證明。如下圖所示，將斜邊上的正方形分成五份。其中四個是與給定的直角三角形全等的三角形；壹部分是以兩條直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分再拼起來，得到兩個直角的平方和。事實上，
Poshgaro也給出了下圖的壹個證明。在直角三角形的斜邊上畫出高度，得到兩對相似的三角形，這樣就有了
c/b=b/m，
c/a=a/n，
cm=b2
cn=a2
兩邊加起來
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明在17世紀被英國數學家J. Wallis (Wallis，1616 ~ 1703)重新發現。
幾位美國總統與數學有著微妙的聯系。g？華盛頓曾經是壹位著名的測量員。t？傑斐遜大力推動美國高等數學教育。林肯通過研究歐幾裏得的《幾何原本》來研究邏輯。更有創意的是第17任校長J.A .加菲爾德(Garfield，1831 ~ 1888)，他在學生時代就對初等數學有著濃厚的興趣和高超的天賦。1876，(當時是眾議員，5年後當選美國總統)給出了壹個漂亮的勾股定理證明，發表在《新英格蘭教育雜誌》上。證明的思路是利用梯形和直角三角形的面積公式。如下頁所示，它是由三個直角三角形組成的直角梯形。用不同的公式求相同的面積
也就是
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證明往往是中學生學習幾何時感興趣的。
這個定理有很多巧妙的證明(據說有近400種)。下面給學生舉幾個例子，都是用謎題證明的。
證明1如圖26-2所示。在直角三角形ABC的外側，做正方形ABDE、ACFG和BCHK，它們的面積分別是c2、b2和a2。我們只需要證明壹個大正方形的面積等於兩個小正方形的面積之和。
通過C引出CM‖BD，將AB交叉到L，連接BC和CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以△ACE?△AGB
SAEML=SACFG (1)
同樣的方法也可以證明。
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)
SABDE=SACFG+SBKHC，
即c2=a2+b2
證明2如圖26-3所示(圖趙)。用八個直角三角形ABC組成壹個大正方形CFGH，邊長為a+b，裏面有壹個內接正方形ABED，邊長為C，如圖所示。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以a2+b2=c2
證明3如圖26-4所示(梅文鼎地圖)。
在直角△ABC的斜邊AB上向外畫壹個正方形ABDE，在直角AC上畫壹個正方形ACGF。可以證明(略)擴GF必過E；將CG延伸到k，使GK=BC=a，連接KD，使DH⊥CF在h，則DHCK是邊長為a的正方形. set
五邊形的面積
壹方面，
S=平方ABDE面積+2乘以△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面，
S=平方ACGF面積+平方DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab。(2)
源自(1)和(2)
c2=a2+b2
證明4如圖26-5(項名達圖)，在直角三角形ABC的斜邊上做了壹個正方形ABDE，在直角三角形ABC的兩個直角CA和CB的基礎上完成了壹個邊長為B的正方形BFGJ(圖26-5)。可以證明(略)GF的延長線必過d .將AG延伸到k，使GK=a，設EH⊥GF為h，則EKGH必是邊長等於a的正方形
設五邊形EKJBD的面積為s .壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面，
S=SBEFG+2？S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
通過(1)，(2)
引出壹個論點
都是按面積驗證的:壹個大面積等於幾個小面積之和。用同壹面積的不同表示得到方程，然後簡化得到勾股定理。)見/21010000/VCM/0720 gdl。醫生。
勾股定理是數學中證明最多的定理之壹——有400多個證明！但是第壹個有記錄的證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳了。目前能看到的最早證明屬於古希臘數學家歐幾裏德。他的證明是演繹推理的形式，記錄在數學巨著《幾何原本》中。在中國古代的數學家中，第壹個證明勾股定理的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創建了勾股方圖，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“畢達哥拉斯正方形圖”中，以弦為邊長的正方形ABDE是由四個相等的直角三角形加上中間的小正方形組成的。每個直角三角形的面積是AB/2；如果中間小正方形的邊長是b-a，面積就是(b-a) 2。那麽我們可以得到如下公式:4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2。簡化後可以得到:a 2 +b 2 =c 2，即c=(a 2 +b 2) (1/2)。趙爽的證明很獨特，很有新意。他用幾何圖形的切、割、拼、補來證明代數表達式之間的恒等式關系，既嚴謹又直觀，為中國古代獨樹壹幟的以形證數、以形統數、代數和幾何緊密結合、不可分割的風格樹立了典範。以下網址是趙爽的勾股方圖:/catch pic/0/01/01f9d 756 be 31e 31e 71a 75 cacc 1410C。GIF之後的大多數數學家都繼承了這壹點。比如劉徽後來用形式證明的方法證明了勾股定理。劉徽用的是“進出互補法”，即剪貼證明法。他在正方形上剪下壹些以畢達哥拉斯為邊的區域，並把它們移到正方形中以和弦為邊的空白區域。結果剛好填了，用圖解法徹底解決了問題。以下網址是劉輝的《綠朱出入圖》:/catch pic/A/A7/A 7070d 771214459 d67a 75e 8675 A a4dcb . gif
勾股定理應用廣泛。我國戰國時期的另壹部古書《路史後記十二註》中有這樣的記載:“禹治洪水而決流於江河，觀山川之形，而決高下。除了特大災難，東海被淹，沒有溺水的危險。”這段話的意思是大禹為了治理洪水，根據地勢的高低決定水流的方向，因勢利導，使洪水註入大海，這樣就不會再有洪水泛濫的災難，這就是應用勾股定理的結果。
如果樓主不明白，可以參考/view/366.htm了解詳情，也可以自己在百度搜索欄上鍵入“勾股定理”查找答案。