中國最早的壹部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著壹段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教壹下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去壹段壹段丈量，那麽怎樣才能得到關於天地得到數據呢？”商高回答說：“數的產生來源於對方和圓這些形體餓認識.其中有壹條原理：當直角三角形‘矩’得到的壹條直角邊‘勾’等於3，另壹條直角邊‘股’等於4的時候，那麽它的斜邊‘弦’就必定是5.這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵.”從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現並應用勾股定理這壹重要懂得數學原理了.稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方.如圖所示，我們圖1 直角三角形用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：勾2+股2=弦2亦即：a2+b2=c2勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯於公元前550年首先發現的.其實，我國古代得到人民對這壹數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多.如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那麽周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年.其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的壹個應用特例（32+42=52）.所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的.在稍後壹點的《九章算術壹書》中，勾股定理得到了更加規範的壹般性表達.書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然後把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦.”把這段話列成算式，即為：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：c=(a2+b2)(1/2)中國古代的數學家們不僅很早就發現並應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明.最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽.趙爽創制了壹幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明.在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2.於是便可得如下的式子：4*(ab/2)+(b-a)2=c2化簡後便可得：a2+b2=c2亦即：c=(a2+b2)(1/2)圖2 勾股圓方圖趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識.他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統壹、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了壹個典範.以後的數學家大多繼承了這壹風格並且代有發展.例如稍後壹點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已.中國古代數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位.尤其是其中體現出來的“形數統壹”的思想方法，更具有科學創新的重大意義.事實上，“形數統壹”的思想方法正是數學發展的壹個極其重要的條件.正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地並肩發展著的.十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的重現與繼續.”。
勾股定理的證明方法（10種以上）
證法1（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形. 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即 ， 整理得 . 證法2（鄒元治證明） 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在壹條直線上，B、F、C三點在壹條直線上，C、G、D三點在壹條直線上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF， ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90？， ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90？. ∴ ∠HEF = 180？―90?= 90？. ∴ 四邊形EFGH是壹個邊長為c的 正方形. 它的面積等於c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE， ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90？， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90？. 又∵ ∠GHE = 90？， ∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180？. ∴ ABCD是壹個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 . ∴ . ∴ .。
關於勾股定理的證明
勾股定理的證明：在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。
首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源於中國和希臘。 1.中國方法：畫兩個邊長為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。
這兩個正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。
從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。
右圖剩下以c為邊的正方形。於是 a^2+b^2=c^2。
這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。
2.希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。 容易看出， △ABA' ≌△AA'C 。
過C向A''B''引垂線，交AB於C'，交A''B''於C''。 △ABA'與正方形ACDA'同底等高，前者面積為後者面積的壹半，△AA''C與矩形AA''C''C'同底等高，前者的面積也是後者的壹半。
由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面積等於矩形AA''C''C'的面積。同理可得正方形BB'EC的面積等於矩形B''BC'C''的面積。
於是， S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC， 即 a2+b2=c2。 至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。
這裏只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。 這就是希臘古代數學家歐幾裏得在其《幾何原本》中的證法。
以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 壹個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等於原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。
我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖註也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附於《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖註》中的證明。采用的是割補法： 如圖，將圖中的四個直角三角形塗上朱色，把中間小正方形塗上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也”。 趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。
西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。
故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。
下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。 如圖， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。
② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。 這壹證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。
1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這壹證明。5年後，伽菲爾德就任美國第二十任總統。
後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這壹證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話。 在學習了相似三角形以後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。
如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。
則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。
② 我們發現，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD)， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是壹種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。
它利用了相似三角形的知識。 在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯壹些錯誤。
如有人給出了如下證明勾股定理的方法： 設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因為∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。
這壹證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。 歐幾裏得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的壹個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。
從上面這壹定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。 勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。 如此等等。
另：八年級數學勾股定理的證明（介紹16種證明的方法）（數學教案） ydgz/。
敘述並證明勾股定理.
證明：如圖 左邊的正方形是由1個邊長為a的正方形和1個邊長為b的正方形以及4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的.右邊的正方形是由1個邊長為c的正方形和4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的.因為這兩個正方形的面積相等（邊長都是a+b），所以可以列出等式 a 2 + b 2 +4* 1 2 ab= c 2 +4* 1 2 ab ，化簡得a 2 +b 2 =c 2 .下面是壹個錯誤證法：勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方這壹特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理證明：作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做壹個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在壹條直線上.過點Q作QP ∥ BC，交AC於點P.過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點F作FN⊥PQ，垂足為N.∵∠BCA=90°，QP ∥ BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是壹個矩形，即∠MBC=90°.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA.同理可證Rt△QNF≌Rt△AEF.即a 2 +b 2 =c 2。
勾股定理證明方法帶圖,較難的,多種方法
劉徽在證明勾股定理時，也是用的以形證數的方法，只是具體的分合移補略有不同.劉徽的證明原也有壹幅圖，可惜圖已失傳，只留下壹段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪.開方除之，即弦也.”後人根據這段文字補了壹張圖.大意是：三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方.以盈補虛，將朱方、青放並成弦方.依其面積關系有a^+b^=c^.由於朱方、青方各有壹部分在弦方內，那壹部分就不動了. 以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方.以贏補虛，只要把圖中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好壹個以弦為邊長的正方形（c的平方 ）.由此便可證得a的平方+b的平方=c的平方. 這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的.在魏景元四年（即公元 263 年），劉徽為古籍《九章算術》作註釋.在註釋中，他畫了壹幅像圖五（b）中的圖形來證明勾股定理.由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」.亦有人用「出入相補」這壹詞來表示這個證明的原理.。
什麽叫勾股定理有哪些方法可以用它證明題？
在任何壹個直角三角形（RT△）中，兩條直角邊的長的平方和等於斜邊長的平方，這就叫做勾股定理.即勾的平方加股的平方等於弦的平方 勾股定理（6張）.（直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方.）勾股定理是余弦定理的壹個特例.這個定理在中國又稱為“商高定理”（相傳大禹治水時，就會運用此定理來解決治水中的計算問題），在外國稱為“畢達哥拉斯定理”或者“百牛定理”.（畢達哥拉斯發現了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”（驢橋定理——歐幾裏得《幾何原本》第壹篇的前5個命題是： 命題1：以已知線段為邊，求作壹等邊三角形. 命題2：求以已知點為端點，作壹線段與已知線段相等. 命題3：已知大小兩線段，求在大線段上截取壹線段與小線段相等. 命題4：兩三角形的兩邊及其夾角對應相等，則這兩個三角形全等. 命題5：等腰三角形兩底角相等. 他們發現勾股定理的時間都比中國晚（中國是最早發現這壹幾何寶藏的國家）.目前初二學生開始學習，教材的證明方法大多采用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖. 勾股定理是壹個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之壹，也是數形結合的紐帶之壹. 直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麽a^2;+b^2;=c^2；. 勾股定理指出 直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等於斜邊（即“弦”）邊長的平方. 也就是說設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麽a的平方+b的平方=c的平方a?+b?=c?. 勾股定理現發現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之壹. 中國古代著名數學家商高說：“若勾三，股四，則弦五.”它被記錄在了《九章算術》中. 推廣 1、如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩直角邊看作在平面直角坐標系坐標軸上的投影，則可以從另壹個角度考察勾股定理的意義.即，向量長度的平方等於它在其所在空間壹組正交基上投影長度的平方之和. 2.勾股定理是余弦定理的特殊情況. 勾股定理。
如何用小學的方法證明勾股定理？知道教下```謝謝
最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽.趙爽創制了壹幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明.在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長玫稭？叫蜛BDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2.於是便可得如下的式子： 4*(ab/2)+(b-a)2=c2 化簡後便可得： a2+b2=c2 亦即： c=(a2+b2)(1/2) 稍後壹點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來（出），移到以弦為邊的正方形的空白區域內（入），結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題. 再給出兩種 1.做直角三角形的高，然後用相似三角形比例做出. 2.把直角三角形內接於圓.然後擴張做出壹矩形.最後用壹下托勒密定理.。