圓周率是圓的周長與其直徑之比，是壹個常數，用希臘字母“π”表示，由公式355÷113得出。在天文歷法和生產實踐中，所有涉及圓的問題都要用圓周率來計算。
如何正確計算圓周率的值是世界數學史上的壹個重要課題。中國古代的數學家非常重視這個問題，很早就開始研究。《周並行算經》和《九章算術》中提出了古代的直徑與壹周、三周之比，圓周率定為三，即壹個圓的周長是直徑的三倍。此後，經過歷代數學家的相繼探索，計算出的圓周率值越來越精確。西漢末年，劉欣在為王莽設計制作圓形銅虎(壹種測量器具)的過程中，發現古代的壹徑三圍比例過於粗糙。進壹步計算後，圓周率的值為3.1547。東漢著名科學家張衡計算出的圓周率值為3.162。三國時期，數學家王凡計算圓周率的值是3.155。魏晉時期著名數學家劉徽在註釋《九章算術》時，創造了壹種計算圓周率的新方法。他把圓的半徑定為1，把圓分成六等份，做出圓的內接正六邊形，用勾股定理計算出內接正六邊形的周長。然後內接十二邊形、二十面體等。依次，直到圓內接192個多邊形，得出其邊長為6.282048，圓內接正多邊形的邊越多，其邊長越接近圓的實際周長，所以此時pi的值為邊長除以2，其近似值為3.14；它表明這個值小於π的實際值。劉輝在割圓術中認識到了現代數學中極限的概念。他創立的割圓法是探索圓周率價值過程中的重大突破。後人為了紀念劉徽的這壹功績，把他所獲得的圓周率的數值稱為“惠率”或“惠術”。
在劉徽之後，在探索圓周率方面頗有建樹的學者，先後有南朝的何承天、皮彥宗等人。何承天算出來的圓周率是3.1428；皮彥宗計算圓周率為22/7 ≈ 3.14。以上科學家都對圓周率的研究和計算做出了巨大貢獻，但與祖沖之的圓周率相比，就遜色很多了。
祖沖之認為劉徽是秦漢至魏晉數百年間對圓周率研究成就最大的學者，但並未達到準確的程度，故進壹步深入研究，以求找到更準確的數值。其研究計算結果證明圓周率應在3.1415926和3.1415927之間。他成為世界上第壹個把圓周率的精確值計算到小數點後七位數的人。直到壹千年後，這個記錄才被阿拉伯數學家阿爾·卡西和法國數學家維耶特打破。祖沖之的“秘率”直到壹千年後才被德國稱為“安托尼氏率”，還有壹些別有用心的人說祖沖之的圓周率是明末西方數學傳入中國後偽造的。這是故意捏造的。記載祖沖之研究圓周率的古籍是唐代的《隋書》史書，現在流傳的《隋書》是丙午年(公元1306)出版的，其中關於祖沖之圓周率的記載和其他現代版本壹樣，發生在明末之前300多年。而且明朝以前的很多數學家在著作中引用了祖沖之的圓周率，證明了祖沖之在圓周率研究上的卓越成就。
祖沖之按照劉徽割圓術的方法，定了壹個直徑十尺的圓，在圓內切開計算。當他把圓切成192邊的多邊形時，就得到了“徽率”的值。但他並不滿足，於是繼續切割，做出了380個四邊形和768個多邊形...直到他切割成24576個多邊形，依次算出每個內接正多邊形的邊長。最後得到壹個直徑為10英尺的圓，其周長在三英尺、壹英尺、四英寸、壹分鐘、九毫秒、七分鐘到三英尺、壹英尺、四英寸、壹分鐘、九毫秒、六分鐘之間。上面的長度單位已經不常用了，換句話說:如果圓的直徑是1，那麽周長小於3.1415927，遠小於壹千萬分。
進行如此精確的計算是壹項極其細致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之的時代，算盤還沒有出現，常用的計算工具叫做計算。那是壹根幾英寸長的方形或扁平的棍子，由竹、木、鐵、玉和其他材料制成。用不同的計算和籌資方式來表示各種數字，稱為籌資算法。如果位數越多，需要放置的區域就越大。它不像用筆用計算式計算，可以留在紙上，每次完成計算都要重新揮桿進行新的計算；只能用筆記記下計算結果，無法得到更直觀的圖形和公式。所以只要有誤差，比如計算有偏差或者計算有誤差，就只能從頭開始。要得到祖沖之π的值，需要對9個有效位的小數進行加減乘除和開平方運算，每壹步都要重復十次以上，50次開平方運算，最後計算出來的數達到小數點後十六七位。今天，用壹個算盤和壹支紙筆來完成這些計算，並不是壹件容易的事情。讓我們考慮壹下。1500多年前的南朝，壹個中年人在昏黃的油燈下，手裏不停地計算著、記著，他經常要重新整理上萬次的計算。這是壹件很辛苦的事情，需要日復壹日的重復。沒有巨大的毅力，壹個人永遠也完成不了這項工作。這壹輝煌成就也充分體現了中國古代數學的高度發達水平。
祖沖之對圓周率的研究具有積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究度量衡，用最新的圓周率結果修正了古代測量體積的計算。
古代有壹種計量器具叫“釜”，壹般有壹尺深，呈圓柱形。這個測量裝置的體積有多大？為了找到這個值，妳需要使用圓周率。祖沖之用他的研究算出了確切的數值。他還重新計算了漢代劉欣制作的“陸家梁”(另壹種計量器具，與上面提到的“盛”等效器類似，但都是圓柱體。)，由於劉鑫使用的計算方法和圓周率值不夠準確，導致他得到的體積值與實際值有出入。祖沖之發現了自己的錯誤，用“祖率”修正了數值。
後來人們在制作測量器具時，用祖沖之的“祖率”值。祖沖之在前人的基礎上，經過刻苦鉆研和反復計算，把圓周率計算到小數點後7位，得到圓周率分數形式的近似值。祖沖之用了什麽方法得到這個結果？現在已經不可能查出來了。如果妳想象他會按照劉輝的“割線”法去找，妳壹定要算出圓內接16000個多邊形，那要花多少時間和精力啊！
根據隋書定律的記載，祖沖之以壹分鐘(百分之壹英尺)為單位計算了直徑為十英尺的圓的周長，得出了豐數的真值(3.1415927)和圓周率的真值(3.1415926)。隋書沒有具體說明祖沖之用什麽方法計算盈余。壹般認為祖沖之采用了劉徽的割線手法，但也有很多其他的推測。這兩種近似精確到小數點後第七位，是當時世界上最先進的成果。直到壹千多年後，15世紀的阿拉伯數學家卡西和16世紀的法國數學家f .吠陀才得到更精確的結果。祖沖之確定了π的兩個漸近分數，近似率22/7，密度率355/113。其中秘密率355/113(≈3.1415929)直到16世紀才被德國v·奧托發現。它由113355三個奇數對組成，然後折成兩段，美觀、規整、好記。為了紀念祖沖之的傑出貢獻，國外壹些數學史家把圓周率的密度稱為“祖率”。