最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊,c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分,將B分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的,故從等量中減去等量,便可推出:斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這裏B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為,直角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經》中的“弦圖”。
下圖是H.珀裏加爾(Perigal)在1873年給出的證明,它是壹種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的,因為這種劃分方法,labitibn Qorra(826~901)已經知道。(如:右圖)下面的壹種證法,是H?E?杜登尼(Dudeney)在1917年給出的。用的也是壹種相加全等的證法。
如右圖所示,邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積,等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法,據說是L?達?芬奇(da Vinci, 1452~1519)設計的,用的是相減全等的證明法。
歐幾裏得(Euclid)在他的《原本》第壹卷的命題47中,給出了勾股定理的壹個極其巧妙的證明,如次頁上圖。由於圖形很美,有人稱其為“修士的頭巾”,也有人稱其為“新娘的轎椅”,實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙,和“外星人”去交流。其證明的梗概是:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理,(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家兼天文學家婆什迦羅(Bhaskara,活躍於1150年前後)對勾股定理給出壹種奇妙的證明,也是壹種分割型的證明。如下圖所示,把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形;壹部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在壹起,得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上,
婆什迦羅還給出了下圖的壹種證法。畫出直角三角形斜邊上的高,得兩對相似三角形,從而有
c/b=b/m,
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明,在十七世紀又由英國數學家J.沃利斯(Wallis, 1616~1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G?華盛頓曾經是壹個著名的測量員。T?傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A.林肯是通過研究歐幾裏得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J.A.加菲爾德(Garfield, 1831~1888),他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年,(當時他是眾議院議員,五年後當選為美國總統)給出了勾股定理壹個漂亮的證明,曾發表於《新英格蘭教育雜誌》。證明的思路是,利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示,是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式,求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法,在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理,有許多巧妙的證法(據說有近400種),下面向同學們介紹幾種,它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2,在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它們的面積分別為c2,b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD,交AB於L,連接BC,CE。因為
AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC,
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3(趙君卿圖),用八個直角三角形ABC拼成壹個大的正方形CFGH,它的邊長是a+b,在它的內部有壹個內接正方形ABED,它的邊長為c,由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC,
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4(梅文鼎圖)。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE,在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明(從略),延長GF必過E;延長CG到K,使GK=BC=a,連結KD,作DH⊥CF於H,則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
壹方面,
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面,
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1),(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5(項名達圖),在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA,CB為基礎完成壹個邊長為b的正方形BFGJ(圖26-5)。可以證明(從略),GF的延長線必過D。延長AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF於H,則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面,
S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)
得出論證
都是用面積來進行驗證:壹個大的面積等於幾個小面積的和。利用同壹個面積的不同表示法來得到等式,從而化簡得到勾股定理)圖見=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明,在十七世紀又由英國數學家J.沃利斯(Wallis, 1616~1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G?華盛頓曾經是壹個著名的測量員。T?傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A.林肯是通過研究歐幾裏得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J.A.加菲爾德(Garfield, 1831~1888),他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年,(當時他是眾議院議員,五年後當選為美國總統)給出了勾股定理壹個漂亮的證明,曾發表於《新英格蘭教育雜誌》。證明的思路是,利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示,是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式,求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法,在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理,有許多巧妙的證法(據說有近400種),下面向同學們介紹幾種,它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2,在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它們的面積分別為c2,b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD,交AB於L,連接BC,CE。因為
AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC,
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3(趙君卿圖),用八個直角三角形ABC拼成壹個大的正方形CFGH,它的邊長是a+b,在它的內部有壹個內接正方形ABED,它的邊長為c,由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC,
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4(梅文鼎圖)。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE,在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明(從略),延長GF必過E;延長CG到K,使GK=BC=a,連結KD,作DH⊥CF於H,則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
壹方面,
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面,
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1),(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5(項名達圖),在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA,CB為基礎完成壹個邊長為b的正方形BFGJ(圖26-5)。可以證明(從略),GF的延長線必過D。延長AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF於H,則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面,
S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)
得出論證
都是用面積來進行驗證:壹個大的面積等於幾個小面積的和。利用同壹個面積的不同表示法來得到等式,從而化簡得到勾股定理)圖見=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明,在十七世紀又由英國數學家J.沃利斯(Wallis, 1616~1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G?華盛頓曾經是壹個著名的測量員。T?傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A.林肯是通過研究歐幾裏得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J.A.加菲爾德(Garfield, 1831~1888),他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年,(當時他是眾議院議員,五年後當選為美國總統)給出了勾股定理壹個漂亮的證明,曾發表於《新英格蘭教育雜誌》。證明的思路是,利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示,是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式,求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法,在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理,有許多巧妙的證法(據說有近400種),下面向同學們介紹幾種,它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2,在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它們的面積分別為c2,b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD,交AB於L,連接BC,CE。因為
AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC,
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3(趙君卿圖),用八個直角三角形ABC拼成壹個大的正方形CFGH,它的邊長是a+b,在它的內部有壹個內接正方形ABED,它的邊長為c,由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC,
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4(梅文鼎圖)。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE,在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明(從略),延長GF必過E;延長CG到K,使GK=BC=a,連結KD,作DH⊥CF於H,則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
壹方面,
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面,
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1),(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5(項名達圖),在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA,CB為基礎完成壹個邊長為b的正方形BFGJ(圖26-5)。可以證明(從略),GF的延長線必過D。延長AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF於H,則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面,
S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)
得出論證
都是用面積來進行驗證:壹個大的面積等於幾個小面積的和。利用同壹個面積的不同表示法來得到等式,從而化簡得到勾股定理)圖見/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是數學上證明方法最多的定理之壹——有四百多種證法!但有記載的第壹個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的壹種證法,屬於古希臘數學家歐幾裏得。他的證法采用演繹推理的形式,記載在數學巨著《幾何原本》裏。在中國古代的數學家中,最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了壹幅“勾股圓方圖”,用數形結合的方法,給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間的小正方形邊長為b-a,則面積為(b-a) 2 。於是便可得如下的式子: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 化簡後便可得: a 2 +b 2 =c 2 亦即:c=(a 2 +b 2 ) (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心,極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系,既具嚴密性,又具直觀性,為中國古代以形證數、形數統壹、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了壹個典範。 以下網址為趙爽的“勾股圓方圖”:/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以後的數學家大多繼承了這壹風格並且有發展, 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後壹點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法,劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法,他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出),移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入),結果剛好填滿,完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的“青朱出入圖”:/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
勾股定理的應用非常廣泛。我國戰國時期另壹部古籍《路史後記十二註》中就有這樣的記載:"禹治洪水決流江河,望山川之形,定高下之勢,除滔天之災,使註東海,無漫溺之患,此勾股之所系生也。"這段話的意思是說:大禹為了治理洪水,使不決流江河,根據地勢高低,決定水流走向,因勢利導,使洪水註入海中,不再有大水漫溺的災害,是應用勾股定理的結果。
勾股定理在我們生活中有很大範圍的運用.