對於任意壹個有三條邊a、b、c的三角形，有a、b、c的三角形滿足性質。
(註:a*b和a*c分別是A乘以B和A乘以C..A 2、B 2和C 2是A、B和C的平方。)
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
證明:
∵如圖，有a→+b→=c→
∴c c=(a+b) (a+b)
∴c^2=a a+2a b+bb∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cos(π-θ)
得到c 2 = a 2+b 2-2 | a || b | cos θ(註意:這裏用的是三角函數的公式)。
再拆開得到C 2 = A 2+B 2-2 * A * B * COSC。
同樣的道理可以證明別人，下面的CosC = (c 2-b 2-a 2)/2ab表示將CosC向左移動。
-
平面幾何證明方法:
在任何△ABC中
做AD⊥BC.
∠C的對邊是C，B的對邊是B，A的對邊是A。
有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC = BC-BD = a-cosb * C
根據勾股定理:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
從余弦定理和余弦函數的性質可以看出，如果三角形兩條邊的平方和等於第三條邊的平方，那麽第三條邊所對的角壹定是直角；如果它小於第三條邊的平方，則第三條邊所對的角是鈍角；如果大於第三邊，則第三邊所對的角為銳角。即三角形的形狀可以用余弦定理來判斷。同時也可以利用余弦定理求三角形邊長的範圍。
勾股定理
勾股定理:
在中國，直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方的特性被稱為勾股定理或畢達哥拉斯定理。是壹個基本的幾何定理，傳統上認為是古希臘的畢達哥拉斯證明的。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，把壹百頭牛斬首以示慶祝，所以也叫“百牛定理”。在中國，《周快舒靜》記載了勾股定理的壹個特例，據傳是商代的商高發現的，所以也叫商高定理。三國時期的趙爽在《周髀算經》中對勾股定理做了詳細的註釋作為證明。法國和比利時叫驢橋定理，埃及叫埃及三角。在中國古代，直角三角形的較短的直角邊叫鉤，較長的直角邊叫弦，斜邊叫弦。
定理:
如果直角三角形的兩條直角邊是A和B，斜邊是C，那麽A+B = C；也就是說，直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方。
如果壹個三角形的三條邊A、B、C滿足a+b=c，那麽這個三角形是直角三角形。(稱為勾股定理的逆定理)
最早的畢達哥拉斯定理
根據許多泥板記載，巴比倫人是世界上最早發現畢達哥拉斯定理的人。這只是壹個例子。比如公元前1700年，壹塊泥板上的第九題(編號BM85196)大意是“有壹根長5米的木梁(AB)垂直靠在墻上，上端(A)向下滑動壹米到D..下端(C)離墻根(B)有多遠？”他們用勾股定理解決了這個問題，如圖所示。
設AB = CD = L = 5m，BC=a，AD = H = 1m，BD = L-H = 5-1m = 4m。
a = √[ l-(l-h)]= √[ 5-(5-1)]= 3m，∴三角形BDC是壹個3邊、4邊、5邊的扭曲形狀。
《周快suan經》簡介
《畢達哥拉斯周快經》是計算十書之壹。成書於公元前二世紀，原名《周解》，是中國最古老的天文著作，主要闡述了當時的遮天理論和四季歷方法。初唐時，它被規定為國子監的教材之壹，故改名為《周快》。《周易·suan經》在數學上的主要成就是引入了勾股定理及其在測量中的應用。原書並沒有證明勾股定理，但證明是由人趙爽在《周傳·勾股方註》中給出的。《周易·suan經》采用了相當復雜的分數算法和開平方法。
[編輯此段]加菲爾德證明勾股定理的故事
1876壹個周末的傍晚，在華盛頓特區的郊外，壹個中年人正在散步，享受著傍晚的美景。他當時是俄亥俄州* * *和黨員加菲爾德。走著走著，他突然發現附近的壹個小石凳上，兩個孩子正全神貫註地談論著什麽，大聲爭吵著，小聲討論著。在好奇心的驅使下，加菲貓循著聲音來到兩個孩子身邊，想弄清楚兩個孩子在幹什麽。只見壹個小男孩俯下身，用樹枝在地上畫了壹個直角三角形。所以加菲爾德問他們在做什麽。小男孩頭也不擡地說:“請問先生，如果壹個直角三角形的兩個直角分別是3和4，那麽斜邊的長度是多少？”加菲貓回答:“是五。”小男孩又問:“如果兩個直角邊分別是5和7，那麽這個直角三角形的斜邊的長度是多少？”加菲爾德不假思索地回答:“斜邊的平方壹定等於5的平方加上7的平方。”小男孩補充道:“先生，妳能說實話嗎？”加菲貓壹時語塞，無法解釋，很不開心。
於是加菲貓停止行走，立即回家討論小男孩給他的問題。經過反復思考和計算，他終於想通了道理，並給出了簡明的證明方法。
如下所示:
解:在網格中，兩條直角邊的小三角形的面積等於壹條斜邊的三角形的面積。
勾股定理的內容:直角三角形的兩個直角A和B的平方和等於斜邊C的平方，
a^2；+b^2；=c^2；
說明:中國古代學者把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“弦”，斜邊稱為“弦”，所以他們把這個定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形各邊之間的關系。
比如壹個直角三角形的兩個直角分別為3和4，那麽斜邊c= a+b=9+16=25。
那麽斜邊就是5。
勾股定理的壹些練習
第壹章勾股定理1。勾股定理的內容，勾股定理是如何得到的，妳從定理的證明中得到了什麽啟示？
練習:
1.在△ABC中，∞∠C = 90。(1+0)如果A = 2，B = 3，以C為邊的正方形面積是多少？(2)如果A = 5，C = 13，B是什麽？(3)如果c = 61，b = 11，A是什麽？(4)如果a∶c =3∶5，c =20，那麽B是什麽？(5)若∠ A = 60且AC =7cm，AB = _cm，BC = _cm。
2.直角三角形的壹條直角邊和斜邊分別為8cm和10cm，所以斜邊上的高度高於_ cm。
3.等腰三角形的周長是20厘米，底高是6厘米，底長是_厘米。
4.在△ABC中，若AD = _cm，∠ BAC = 120，AB = 12 cm，則BC的高度為_cm。
5.已知在△ABC，∠ ACB = 90，CD⊥AB在d，BC=，DB=2cm，則BC = _ BC=_ cm，AB= _cm，AC= _cm _ cm。
6.如圖，有人想過河。由於海流的影響，實際著陸點C偏離了預定到達點B200m。結果他實際在水裏遊了520m，河的寬度是_ _ _ _ _ _。
7.在壹棵樹的10米的高度有兩只猴子。壹只猴子爬下樹，走到離樹20米遠的池塘邊。另壹個爬到樹頂D直接跳到A，距離按直線計算。如果兩只猴子經過的距離相同，這棵樹就有_ _ _ _ _ _ _ _ _米高。
8.給定壹個Rt△的兩邊分別是3和4，第三邊的平方是()。
a，25 B，14 C，7 D，7或25
9.小鳳的媽媽買了壹臺29英寸(74厘米)的電視機。以下關於29英寸的說法哪個是正確的？
A.小峰認為是指屏幕的長度；b .小峰媽媽認為是指屏幕的寬度；
C.小峰爸爸認為是指屏幕的周長；d .銷售員認為是指屏幕對角線的長度
2.妳有多少種方法證明三角形是直角三角形？
練習:
(×經典習題×)
據中國古代《周快舒靜》記載，商高在公元前1120年告訴周公，如果把壹把尺子折成直角，兩端相連就成直角三角形。若鉤三，股四，則弦等於五，後人總結為“鉤三，股四，弦五”。
(1)觀察:3，4，5，5，12，13，7，24，25，...發現這幾組的滴答數都是奇數，從3開始就沒有間斷過。計算0.5 (9+1)和0.5 (25-1)和0.5 (25+1)，根據妳發現的規律，寫出能分別代表7、24、25這三個數的股和弦公式。
(2)根據(1)定律，如果用n(n為奇數，n≥3)來表示所有這些勾股，請直接用包含n的代數表達式來表示它們的弦。
回答:
(1) 0.5(9+1)∧2+0.5(25-1)∧2=169=0.5(25+1)∧2 0.5(13+1)∧2+0.5(49-1)∧2=0.5(49+1)∧2
(2)弦:0.5 (n 2-1)弦:0.5 (n 2+1)
如果壹個三角形的三條邊長是(a+b)2=c2+2ab，那麽這個三角形是()。
A.等邊三角形；b .鈍角三角形；c .直角三角形；d .銳角三角形
1.在δδABC中，如果AB2+BC2 = AC2，那麽∠ A+∠ C = 0。
2.如圖，如果小正方形的邊長為1，則正方形網格中的△ABC為()。
(a)直角三角形(b)銳角三角形
(c)鈍角三角形(d)以上答案都不正確
給定三角形三條邊的長度分別為2n+1，2n+2n，2n+2n+1 (n為正整數)，則最大角等於_ _ _ _ _ _ _ _ _。
三角形的三個內角的度數比是1:2:3，它的最大邊是m，所以它的最小邊是_ _ _ _。
壹個斜邊高為m的等腰直角三角形的面積等於_ _ _ _。
3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A = 90°，求四邊形ABCD的面積。
三角學中有壹個很重要的定理，在中國叫勾股定理和商定理。因為《周並行算經》中提到，商高說“勾三股四弦五”。這裏有壹些證明。
原證明有分歧。設A和B是直角三角形的直角邊，C是斜邊。考慮下圖中兩邊都是a+b的正方形A和B。把A分成六份，B分成五份。由於八個小直角三角形全等，從等值中減去等值，可以推導出斜邊的平方等於兩個直角邊的平方之和。這裏，B中的四邊形是邊長為c的正方形，因為直角三角形的三個內角之和等於兩個直角。上述證明方法稱為減法同余證明方法。圖表B是每周並行計算經典中的“弦圖”。
下圖是H. Perigal在1873中給出的證明，是壹種加法同余證明方法。其實這個證明是重新發現的，因為Labitibn Qorra (826 ~ 901)已經知道了這個除法。(比如右圖)下列證明之壹是H？e？是杜德妮在1917給的。也是壹種加同余的證明方法。
如右圖所示，邊長為b的正方形面積加上邊長為a的正方形面積等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法據說是L？達？Vinci(1452 ~ 1519)設計的，用的是減法同余的證明方法。
歐幾裏得在《幾何原本》第壹卷命題47中對勾股定理給出了極其巧妙的證明，比如下壹頁的圖片。因為圖形漂亮，有人叫它“修士的頭巾”，也有人叫它“新娘的轎子”，真的很有意思。華教授曾建議把這張照片送到宇宙中去與“外星人”交流。證明的大綱是:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL .
類似地，(BC)2=KEBL
因此
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家和天文學家巴斯卡拉(活躍在1150左右)給出了勾股定理的壹個精彩證明，也是壹個分裂證明。如下圖所示，將斜邊上的正方形分成五份。其中四個是與給定的直角三角形全等的三角形；壹部分是以兩條直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分再拼起來，得到兩個直角的平方和。事實上，
Poshgaro也給出了下圖的壹個證明。在直角三角形的斜邊上畫出高度，得到兩對相似的三角形，這樣就有了
c/b=b/m，
c/a=a/n，
cm=b2
cn=a2
兩邊加起來
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明在17世紀被英國數學家J. Wallis (Wallis，1616 ~ 1703)重新發現。
幾位美國總統與數學有著微妙的聯系。g？華盛頓曾經是壹位著名的測量員。t？傑斐遜大力推動美國高等數學教育。林肯通過研究歐幾裏得的《幾何原本》來研究邏輯。更有創意的是第17任校長J.A .加菲爾德(Garfield，1831 ~ 1888)，他在學生時代就對初等數學有著濃厚的興趣和高超的天賦。1876，(當時是眾議員，5年後當選美國總統)給出了壹個漂亮的勾股定理證明，發表在《新英格蘭教育雜誌》上。證明的思路是利用梯形和直角三角形的面積公式。如下頁所示，它是由三個直角三角形組成的直角梯形。用不同的公式求相同的面積
也就是
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證明往往是中學生學習幾何時感興趣的。
這個定理有很多巧妙的證明(據說有近400種)。下面給學生舉幾個例子，都是用謎題證明的。
證明1如圖26-2所示。在直角三角形ABC的外側，做正方形ABDE、ACFG和BCHK，它們的面積分別是c2、b2和a2。我們只需要證明壹個大正方形的面積等於兩個小正方形的面積之和。
通過C引出CM‖BD，將AB交叉到L，連接BC和CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以△ACE?△AGB
SAEML=SACFG (1)
同樣的方法也可以證明。
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)
SABDE=SACFG+SBKHC，
即c2=a2+b2
證明2如圖26-3所示(圖趙)。用八個直角三角形ABC組成壹個大正方形CFGH，邊長為a+b，裏面有壹個內接正方形ABED，邊長為C，如圖所示。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以a2+b2=c2
證明3如圖26-4所示(梅文鼎地圖)。
在直角△ABC的斜邊AB上向外畫壹個正方形ABDE，在直角AC上畫壹個正方形ACGF。可以證明(略)擴GF必過E；將CG延伸到k，使GK=BC=a，連接KD，使DH⊥CF在h，則DHCK是邊長為a的正方形. set
五邊形的面積
壹方面，
S=平方ABDE面積+2乘以△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面，
S=平方ACGF面積+平方DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab。(2)
源自(1)和(2)
c2=a2+b2
證明4如圖26-5(項名達圖)，在直角三角形ABC的斜邊上做了壹個正方形ABDE，在直角三角形ABC的兩個直角CA和CB的基礎上完成了壹個邊長為B的正方形BFGJ(圖26-5)。可以證明(略)GF的延長線必過d .將AG延伸到k，使GK=a，設EH⊥GF為h，則EKGH必是邊長等於a的正方形
設五邊形EKJBD的面積為s .壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面，
S=SBEFG+2？S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
通過(1)，(2)
引出壹個論點
都是按面積驗證的:壹個大面積等於幾個小面積之和。用同壹面積的不同表示得到方程，然後簡化得到勾股定理。)見/21010000/VCM/0720 gdl。醫生。
勾股定理是數學中證明最多的定理之壹——有400多個證明！但是第壹個有記錄的證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳了。目前能看到的最早證明屬於古希臘數學家歐幾裏德。他的證明是演繹推理的形式，記錄在數學巨著《幾何原本》中。在中國古代的數學家中，第壹個證明勾股定理的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創建了勾股方圖，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“畢達哥拉斯正方形圖”中，以弦為邊長的正方形ABDE是由四個相等的直角三角形加上中間的小正方形組成的。每個直角三角形的面積是AB/2；如果中間小正方形的邊長是b-a，面積就是(b-a) 2。那麽我們可以得到如下公式:4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2。簡化後可以得到:a 2 +b 2 =c 2，即c=(a 2 +b 2) (1/2)。趙爽的證明很獨特，很有新意。他用幾何圖形的切、割、拼、補來證明代數表達式之間的恒等式關系，既嚴謹又直觀，為中國古代獨樹壹幟的以形證數、以形統數、代數和幾何緊密結合、不可分割的風格樹立了典範。以下網址是趙爽的勾股方圖:/catch pic/0/01/01f9d 756 be 31e 31e 71a 75 cacc 1410C。GIF之後的大多數數學家都繼承了這壹點。比如劉徽後來用形式證明的方法證明了勾股定理。劉徽用的是“進出互補法”，即剪貼證明法。他在正方形上剪下壹些以畢達哥拉斯為邊的區域，並把它們移到正方形中以和弦為邊的空白區域。結果剛好填了，用圖解法徹底解決了問題。以下網址是劉輝的《綠朱出入圖》:/catch pic/A/A7/A 7070d 771214459 d67a 75e 8675 A a4dcb . gif
勾股定理應用廣泛。我國戰國時期的另壹部古書《路史後記十二註》中有這樣的記載:“禹治洪水而決流於江河，觀山川之形，而決高下。除了特大災難，東海被淹，沒有溺水的危險。”這段話的意思是大禹為了治理洪水，根據地勢的高低決定水流的方向，因勢利導，使洪水註入大海，這樣就不會再有洪水泛濫的災難，這就是應用勾股定理的結果。
勾股定理在我們的生活中被廣泛應用。
16勾股定理的驗證方法(附圖片):/upload files/2007/11-25/1125862269。文件
練習:壹個等腰三角形，三個內角之比是1:1:10，腰長是10cm，那麽這個三角形的面積是_ _ _ _。
解:三角形的角分別是15度，150度。
設底邊的高度為h，底邊的長度為2t。
容易得到sin 15 = sin 60 cos 45-cos 60 sin 45 = h/10。
解是h=5(√6-√2)/2。
tan 15 =(tan 60-tan 45)/(1-tan 60 tan 45)= 5(√6-√2)/2t。
T=5(√6+√2)
因此，面積s = th = 50
勾股定理的別名
勾股定理是幾何學中壹顆耀眼的明珠，被稱為“幾何學的基石”，在高等數學等學科中也有廣泛的應用。正因為如此，世界上的幾個古文明都被發現並被廣泛研究，所以有很多名字。
中國是發現和研究勾股定理最早的國家。中國古代數學家稱直角三角形為勾股，較短的右邊叫勾，另壹條右邊叫弦，斜邊叫弦，所以勾股定理也叫勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公。直角三角形中，有“三鉤四股五弦”。因此，勾股定理在我國也被稱為“商高定理”。公元前7-6世紀，中國學者陳子曾給出任何直角三角形的三邊關系，即“太陽為鉤，太陽為份，鉤與份相乘並除，得邪歸太陽。
在法國和比利時，勾股定理也被稱為驢橋定理。其他國家稱勾股定理為平方定理。
陳子死後壹百二十年，希臘著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，所以世界上許多國家都稱之為畢達哥拉斯定理。為了慶祝這個定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了壹百頭牛作為祭祀神靈的獎勵，所以這個定理被稱為“百牛定理”。