首先，探索函數本身的對稱性
定理1。函數y = f (x)的像關於點A (a，b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a-x) = 2b
證明了(必要)點P( x，y)是y = f (x)的像上的任意壹點，點P(x，y)關於點A (a，b)的對稱點P' (2a-x，2b-y)也在y = f (x)的像上。
即y+f (2a-x) = 2b，所以f (x)+f (2a-x) = 2b，證明了必要性。
(充分性)如果設定點P(x0，y0)是y = f (x)的圖像中的任意壹點，則y0 = f (x0)。
∫f(x)+f(2a-x)= 2b∴f(x0)+f(2a-x0)= 2b，即2b-y0 = f (2a-x0)。
因此，點P' (2a-x0，2b-y0)也在y = f (x)的像上，點P和點P '關於點A (a，b)對稱，得到充分性。
推論:函數y = f (x)的像關於原點o對稱的充要條件是f (x)+f (-x) = 0。
定理2。函數y = f (x)的像關於直線x = a對稱的充要條件是
F (a+x) = f (a-x)表示f (x) = f (2a-x-x)(供讀者證明)。
推論:函數y = f (x)的像關於y軸對稱的充要條件是f (x) = f (-x)。
定理3。①如果函數y = f (x)的像關於A (a，c)和B (b，c)兩點都是中心對稱的(a≠b)，那麽y = f (x)是周期函數，2a-b是它的壹個周期。
②如果函數y = f (x)的像關於x = a和x = b兩條直線都是軸對稱的(a≠b)，那麽y = f (x)是周期函數，2a-b是它的壹個周期。
③若函數y = f (x)的像既關於點A (a，c)中心對稱，又關於直線x =b (a≠b)軸對稱，則y = f (x)為周期函數，4a-b為其周期之壹。
①②的證明留給讀者，③的證明如下:
∫函數y = f (x)圖像不僅關於點A (a，c)中心對稱，
∴ f (x)+f (2a-x) = 2c，用2b-x代替x得到:
f(2 b-x)+f[2a-(2 b-x)]= 2c……………………(*)
函數y = f (x)和像直線x =b是對稱的。
∴ f (2b-x) = f (x)代入(*):
F (x) = 2c-f [2 (a-b)+x]......................................(* *)，用2 (a-b)-x表示x。
F [2 (a-b)+x] = 2c-f [4 (a-b)+x]代入(* *):
F (x) = f [4 (a-b)+x]，所以y = f (x)是周期函數，4a-b是它的周期之壹。
第二，探索不同函數的對稱性
定理4。具有函數y = f (x)和y = 2b-f (2a-x)的圖像關於點A (a，b)是中心對稱的。
定理5。①函數y = f (x)和y = f (2a-x)的圖像關於直線x = a對稱..
②函數y = f (x)和a-x = f (a-y)的圖像關於直線x+y = a對稱。
③函數y = f (x)和x-a = f (y+a)的圖像關於直線x-y = a對稱。
定理4和定理5中① ②的證明留給讀者，定理5中③現已證明。
如果點P(x0，y0)是y = f (x)的圖像中的任意壹點，則y0 = f (x0)。若點P( x，y)為P'(x1，y1)，則x1 = a+y0，y1 = x0-a，∴ x-y = a+y66。Y0 = X1-A代入y0 = f (x0)，X1-A = F (A+y1) ∴點P'(x1，y1)在函數X-A = F中
同樣，可以證明函數X-A = f (y+a)的像上的任意壹點也在函數y = f (x)的像上。因此，定理5中的③成立。
推論:函數y = f (x)的像和x = f (y)的像關於直線x = y對稱。
三、三角函數圖像的對稱性列表
註:①上表中k∈Z。
②岑參、王主編的浙江教育出版社《21世紀高中數學》第壹冊和陳主編的廣西師範大學出版社出版的《高中數學新教案》中，y = tan x的對稱中心坐標都應是(kπ/2，0)，而Y = Tan X的對稱中心坐標都認為是(kπ，0)。
四、函數對稱性應用的例子
例1:定義在R上的非常數函數滿足:f (10+x)是偶函數，f (5-x) = f (5+x)，那麽f (x)壹定是()(xx希望杯高二第二題)。
(a)是壹個偶函數和壹個周期函數；(b)是壹個偶函數，但不是周期函數。
(c)是奇函數和周期函數。(d)是壹個奇函數，但不是周期函數。
解法:∫f(10+x)是壹個偶函數，∴ f (10+x) = f (10-x)。
∴f (x)有兩個對稱軸x = 5，x =10，所以f (x)是以10為周期的周期函數，∴x =0意味著y軸也是f (x)的對稱軸，所以f (x)仍然是偶函數。
所以選(a)
例2:設函數y = f (x)和y = g(x)與R有反函數，F (x-1)和G-1 (x-2)函數的像關於直線y = x對稱，若G (5) = 10。
(A)1999；2000年；(C)2001；2002年.
解法:∵ y = f (x-1)和y = g-1 (x-2)函數的圖像關於直線y = x對稱，
y = g-1 (x-2)的反函數是y = f (x-1)，y = g-1 (x-2)的反函數是y = 2+g (x)，∴ f
所以f(4) = 2001，應該選(c)。
例3。設f(x)是定義在R上的偶函數，f (1+x) = f (1-x)。-1 ≤ x ≤ 0時，
F (X) =-X，則F(8.6)= _ _ _ _ _ _(xx希望杯高二第壹道測試題)
解:∵f(x)是定義在r上的偶函數∴x = 0是y = f(x)的對稱軸；
而∵f(1+x)= f(1-x)∴x = 1也是y = f (x)的對稱軸。所以y = f(x)是周期為2的周期函數，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(-0.6)= 0.3。
例4。函數y = sin (2x+)的圖像的壹個對稱軸的方程是()(92高考)(a) x =-(b) x =-(c) x = (d) x =
解:函數y = sin (2x+)的圖像所有對稱軸的方程為2x+= k+
∴ x =-，顯然k = 1時的對稱方程是x =-，所以選(a)。
例5。設f(x)是定義在R上的奇函數，f (x+2) =-f (x)。當0≤x≤1時，
F (x) = x，那麽f (7.5) =()
(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5
解:∵y = f (x)是定義在r上的奇函數，∴點(0，0)是它的對稱中心；
而∵ f (x+2) =-f (x) = f (-x)，即f (1+x) = f (1-x)，∴直線x = 1就是y = f (x)。
∴f(7.5)= f(8-0.5)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5所以選(b)。