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高壹數學精選知識點:函數的對稱性

下面是壹篇《高壹數學知識點精選:函數的對稱性》的文章,供大家參考!

首先,探索函數本身的對稱性

定理1。函數y = f (x)的像關於點A (a,b)對稱的充要條件是

f (x) + f (2a-x) = 2b

證明了(必要)點P( x,y)是y = f (x)的像上的任意壹點,點P(x,y)關於點A (a,b)的對稱點P' (2a-x,2b-y)也在y = f (x)的像上。

即y+f (2a-x) = 2b,所以f (x)+f (2a-x) = 2b,證明了必要性。

(充分性)如果設定點P(x0,y0)是y = f (x)的圖像中的任意壹點,則y0 = f (x0)。

∫f(x)+f(2a-x)= 2b∴f(x0)+f(2a-x0)= 2b,即2b-y0 = f (2a-x0)。

因此,點P' (2a-x0,2b-y0)也在y = f (x)的像上,點P和點P '關於點A (a,b)對稱,得到充分性。

推論:函數y = f (x)的像關於原點o對稱的充要條件是f (x)+f (-x) = 0。

定理2。函數y = f (x)的像關於直線x = a對稱的充要條件是

F (a+x) = f (a-x)表示f (x) = f (2a-x-x)(供讀者證明)。

推論:函數y = f (x)的像關於y軸對稱的充要條件是f (x) = f (-x)。

定理3。①如果函數y = f (x)的像關於A (a,c)和B (b,c)兩點都是中心對稱的(a≠b),那麽y = f (x)是周期函數,2a-b是它的壹個周期。

②如果函數y = f (x)的像關於x = a和x = b兩條直線都是軸對稱的(a≠b),那麽y = f (x)是周期函數,2a-b是它的壹個周期。

③若函數y = f (x)的像既關於點A (a,c)中心對稱,又關於直線x =b (a≠b)軸對稱,則y = f (x)為周期函數,4a-b為其周期之壹。

①②的證明留給讀者,③的證明如下:

∫函數y = f (x)圖像不僅關於點A (a,c)中心對稱,

∴ f (x)+f (2a-x) = 2c,用2b-x代替x得到:

f(2 b-x)+f[2a-(2 b-x)]= 2c……………………(*)

函數y = f (x)和像直線x =b是對稱的。

∴ f (2b-x) = f (x)代入(*):

F (x) = 2c-f [2 (a-b)+x]......................................(* *),用2 (a-b)-x表示x。

F [2 (a-b)+x] = 2c-f [4 (a-b)+x]代入(* *):

F (x) = f [4 (a-b)+x],所以y = f (x)是周期函數,4a-b是它的周期之壹。

第二,探索不同函數的對稱性

定理4。具有函數y = f (x)和y = 2b-f (2a-x)的圖像關於點A (a,b)是中心對稱的。

定理5。①函數y = f (x)和y = f (2a-x)的圖像關於直線x = a對稱..

②函數y = f (x)和a-x = f (a-y)的圖像關於直線x+y = a對稱。

③函數y = f (x)和x-a = f (y+a)的圖像關於直線x-y = a對稱。

定理4和定理5中① ②的證明留給讀者,定理5中③現已證明。

如果點P(x0,y0)是y = f (x)的圖像中的任意壹點,則y0 = f (x0)。若點P( x,y)為P'(x1,y1),則x1 = a+y0,y1 = x0-a,∴ x-y = a+y66。Y0 = X1-A代入y0 = f (x0),X1-A = F (A+y1) ∴點P'(x1,y1)在函數X-A = F中

同樣,可以證明函數X-A = f (y+a)的像上的任意壹點也在函數y = f (x)的像上。因此,定理5中的③成立。

推論:函數y = f (x)的像和x = f (y)的像關於直線x = y對稱。

三、三角函數圖像的對稱性列表

註:①上表中k∈Z。

②岑參、王主編的浙江教育出版社《21世紀高中數學》第壹冊和陳主編的廣西師範大學出版社出版的《高中數學新教案》中,y = tan x的對稱中心坐標都應是(kπ/2,0),而Y = Tan X的對稱中心坐標都認為是(kπ,0)。

四、函數對稱性應用的例子

例1:定義在R上的非常數函數滿足:f (10+x)是偶函數,f (5-x) = f (5+x),那麽f (x)壹定是()(xx希望杯高二第二題)。

(a)是壹個偶函數和壹個周期函數;(b)是壹個偶函數,但不是周期函數。

(c)是奇函數和周期函數。(d)是壹個奇函數,但不是周期函數。

解法:∫f(10+x)是壹個偶函數,∴ f (10+x) = f (10-x)。

∴f (x)有兩個對稱軸x = 5,x =10,所以f (x)是以10為周期的周期函數,∴x =0意味著y軸也是f (x)的對稱軸,所以f (x)仍然是偶函數。

所以選(a)

例2:設函數y = f (x)和y = g(x)與R有反函數,F (x-1)和G-1 (x-2)函數的像關於直線y = x對稱,若G (5) = 10。

(A)1999;2000年;(C)2001;2002年.

解法:∵ y = f (x-1)和y = g-1 (x-2)函數的圖像關於直線y = x對稱,

y = g-1 (x-2)的反函數是y = f (x-1),y = g-1 (x-2)的反函數是y = 2+g (x),∴ f

所以f(4) = 2001,應該選(c)。

例3。設f(x)是定義在R上的偶函數,f (1+x) = f (1-x)。-1 ≤ x ≤ 0時,

F (X) =-X,則F(8.6)= _ _ _ _ _ _(xx希望杯高二第壹道測試題)

解:∵f(x)是定義在r上的偶函數∴x = 0是y = f(x)的對稱軸;

而∵f(1+x)= f(1-x)∴x = 1也是y = f (x)的對稱軸。所以y = f(x)是周期為2的周期函數,∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(-0.6)= 0.3。

例4。函數y = sin (2x+)的圖像的壹個對稱軸的方程是()(92高考)(a) x =-(b) x =-(c) x = (d) x =

解:函數y = sin (2x+)的圖像所有對稱軸的方程為2x+= k+

∴ x =-,顯然k = 1時的對稱方程是x =-,所以選(a)。

例5。設f(x)是定義在R上的奇函數,f (x+2) =-f (x)。當0≤x≤1時,

F (x) = x,那麽f (7.5) =()

(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5

解:∵y = f (x)是定義在r上的奇函數,∴點(0,0)是它的對稱中心;

而∵ f (x+2) =-f (x) = f (-x),即f (1+x) = f (1-x),∴直線x = 1就是y = f (x)。

∴f(7.5)= f(8-0.5)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5所以選(b)。