龐加萊猜想和黎曼假設、霍奇猜想、楊·米爾理論等壹樣，被並列為七大數學世紀難題之壹。
千僖難題”之壹： P (多項式算法)問題對NP (非多項式算法)問題
“千僖難題”之二： 霍奇(Hodge)猜想
“千僖難題”之三： 龐加萊(Poincare)猜想
“千僖難題”之四： 黎曼(Riemann)假設
“千僖難題”之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
“千僖難題”之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
“千僖難題”之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
“千僖難題”之壹：P（多項式算法）問題對NP（非多項式算法）問題
在壹個周六的晚上，妳參加了壹個盛大的晚會。由於感到局促不安，妳想知道這壹大廳中是否有妳已經認識的人。妳的主人向妳提議說，妳壹定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費壹秒鐘，妳就能向那裏掃視，並且發現妳的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，妳就必須環顧整個大廳，壹個個地審視每壹個人，看是否有妳認識的人。生成問題的壹個解通常比驗證壹個給定的解時間花費要多得多。這是這種壹般現象的壹個例子。與此類似的是，如果某人告訴妳，數13，717，421可以寫成兩個較小的數的乘積，妳可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴妳它可以因子分解為3607乘上3803，那麽妳就可以用壹個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定壹個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之壹。它是斯蒂文·考克（StephenCook）於1971年陳述的。
“千僖難題”之二： 霍奇(Hodge)猜想
二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在壹起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至壹些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這壹推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
“千僖難題”之三： 龐加萊(Poincare)猜想
如果我們伸縮圍繞壹個蘋果表面的橡皮帶，那麽我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為壹個點。另壹方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在壹個輪胎面上，那麽不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到壹點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在壹百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。
“千僖難題”之四： 黎曼(Riemann)假設
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於壹個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s$的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在壹條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每壹個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。
“千僖難題”之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人註目的關系。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和築波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“誇克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到壹個數學上令人滿意的證實。在這壹問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
“千僖難題”之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
“千僖難題”之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾裏德曾經對這壹方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在壹般的方法來確定這樣的方法是否有壹個整數解。當解是壹個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與壹個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麽存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麽只存在有限多個這樣的點。