唐杜甫
風急天高猿嘯哀，渚清沙白鳥飛回。
無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來。
萬裏悲秋常作客，百年多病獨登臺。
艱難苦恨繁霜鬢，潦倒新停濁酒杯。
可以看出是壹、二、四、六、八入韻，整首詩格律非常和諧，對仗極其工整。至於樓主所說的“哀”和“杯”不押韻。這個有幾方面的原因:
首先要考慮到詩人所選取的韻譜。以平水韻來講的話，來看（上平十灰）所有韻我們發現有：灰恢魁隈〔回〕徊槐[佳韻同]梅枚玫媒煤雷頹崔催摧堆陪〔杯〕醅嵬推[支韻同]詼裴培盔偎煨瑰茴追胚徘坯桅傀儡[賄韻同]莓開〔哀〕埃〔臺〕苔擡該才材財裁栽哉〔來〕萊災猜孩徠駘胎唉垓挨皚呆腮我們先來看壹下《登高》原文:
所以我們斷定《登高》押的是平水韻的（上平十灰）
除此之外，還有其他的韻譜，比如，詞林正韻、中華音韻等，樓主可以去多多了解。
其次是在古代漢語的角度來講，古代的漢字發音和現代的有所變化，所以這就造成了讀音上的差別，從而在古代入韻而在現代看來卻不像入韻的反差。其實放在當時都是可以這樣讀的。
所以說，《登高》稱之為律詩第壹是名副其實的，並不為過，杜甫極為講究韻律，杜甫在律詩上的成就是極高的，
他不僅擴大了律詩的題材範圍，以古體寫時事進展到以律詩寫時事，律詩寫時事比古體難度更高，而杜甫卻運用自如，如《聞官軍收河南河北》《蜀相》， 還以五、七律組詩的形式表現較寬泛的內容，以組詩寫律詩，極大擴大了律詩的表現力。例：七律《秋興八首》交錯著憶往昔、感盛衰、傷淪落、嘆時事，八首詩層層深入。
然後是在詩境和藝術技巧上，杜甫的詩合律而不受聲律束縛，渾融流暢，如:《聞官軍收河南河北》《登高》，晚年的杜甫對七律拗體進行了長期的探索。他的拗體是對詩律的變通，增強了詩歌的表現力。在煉字煉句的同時保持著律詩的神韻。
總的來說，杜甫的詩歌藝術成就值得肯定，《登高》被稱為第壹律詩也自有身價。