1.泥板上的
古代巴比倫王國的位置,在西亞底格裏斯河和幼發拉底河的中下遊地區,現在的伊拉克境內,巴比倫國家建立於公元前19世紀,是世界四大文明古國之壹。
巴比倫人使用特殊的楔形文字,他們把文字刻在泥板上,然後曬幹,泥板曬幹後和石頭壹樣堅硬,可以長期保存。
從發掘出來的泥板上,人們發現了3000多年前巴比倫人出的數學題:
“10個兄弟分100兩銀子,壹個人比壹個人多,只知道每壹級相差的數量都壹樣,但是究竟相差多少不知道,現在第八個兄弟分到6兩銀子,問壹級相差多少?”
如果10個兄弟平均分100兩銀子,每人應該分10兩,現在第八個兄弟只分到了6兩,說明老大分得最多,往下是壹個比壹個少。
按著題目所給定的條件,應該有以下關系:
老二得到的是老大減去壹倍的差,
老三得到的是老大減去二倍的差,
老四得到的是老大減去三倍的差,
……
老十得到的是老大減去九倍的差。
這樣,老大與老十***得銀兩
=老二與老九***得銀兩
=老三與老八***得銀兩
=老四與老七***得銀兩
=老五與老六***得銀兩
=20兩
已知老八得6兩,可求出老三得20-6=14兩,老三比老八多得14-6=8,另壹方面,老三與老八相差7-2=5倍的差,因此,
差=8÷5=1.6(兩)
答:壹級相差1.6兩銀子。
巴比倫的數學和天文學發展很快,他們除了首先使用60進位制外,還確定壹個月(月亮月)有30天,壹年(月亮年)有12個月亮月,為了不落後太陽年,在某些年裏用規定閏月的辦法來糾正。
巴比倫人了解行星的存在,他們崇拜太陽、月亮、金星,把數3看作是“幸福的”,晚些時候,他們又發現了木星、火星、水星、土星,這時數7被看作是“幸福的”。
巴比倫人特別註意研究月亮,把彎月的明亮部分與月面全面積之比,叫做“月相”,在壹塊泥板上記載有關月相的題目:
“設月亮全面積為240,從新月到滿月的15天中,頭5天每天都是前壹天的2倍,即5,10,20,40,80,後10天每天都按著相同數值增加,問增加的數值是多少?”
月亮全面積為240,第五天月亮面積為80,後10天月亮***增加的面積為240-80=160。
因此,每天增加的數值為160÷10=16。
答:增加的數值為16。
2.紙草上的
《蘭特紙草書》是4000年前古埃及人的壹本數學書,上面用象形文字記載了許多有趣的數學題,比如:
在7,7×7,7×7×7,7×7×7×7,7×7×7×7×7,……
這些數字上面有幾個象形符號:房子、貓、老鼠、大麥、鬥,翻譯出來就是:
“有7座房子,每座房子裏有7只貓,每只貓吃了7只老鼠,每只老鼠吃了7穗大麥,每穗大麥種子可以長出7鬥大麥,請算出房子、貓、老鼠、大麥和鬥的總數。”
奇怪的是古代俄羅斯民間也流傳著類似的算術題:
“路上走著七個老頭,
每個老頭拿著七根手杖,
每根手杖上有七個樹杈,
每個樹杈上掛著七個竹籃,
每個竹籃裏有七個竹籠,
每個竹籠裏有七個麻雀,
總***有多少麻雀?”
古俄羅斯的題目比較簡單,老頭數是7,手杖數是7×7=49,樹杈數是7×7×7=49×7=343,竹籃數是7×7×7×7=343×7=2401,竹籠數是7×7×7×7×7=2401×7=16807,麻雀數是7×7×7×7×7×7=16807×7=117649。總***有十壹萬七千六百四十九只麻雀,七個老頭能提著十壹萬多只麻雀溜彎兒,可真不簡單啊!若每只麻雀按20克算,這些麻雀有2噸多重。
《蘭特紙草書》上在貓吃老鼠、老鼠吃大麥的問題後面有解答,說是用2801乘以7。
求房子、貓、老鼠、大麥和鬥的總數,就是求和7+7×7+7×7×7+7×7×7×7+7×7×7×7×7=7+49+343+2401+16807=19607。這同上面2801×7=19607的答數壹樣,古代埃及人在4000多年前就掌握了這種特殊的求和方法。
類似的問題在壹首古老的英國童謠中也出現過:
“我赴聖地愛弗西,
途遇婦子數有七,
壹人七袋手中提,
壹貓七子緊相依,
婦與布袋貓與子,
幾何同時赴聖地?”
意大利數學家斐波那契在1202年出版的《算盤書》中也有類似問題:
“有7個老婦人在去羅馬的路上,每個人有7匹騾子;每匹騾子馱7只口袋,每只動袋裝7個大面包,每個面包帶7把小刀,每把小刀有七層鞘,在去羅馬的路上,婦人、騾子、面包、小刀和刀鞘,壹***有多少?”同壹類問題,在不同的時代、不同的國家以不同的形式出現,但是,時間最早的還要數古埃及《蘭特紙草書》。
古埃及還流傳著“某人盜寶”的題目:
“某人從寶庫中取寶13,另壹人又從剩余的寶中取走117,寶庫中還剩寶150件,寶庫中原有寶多少件?”
這個問題的提法與現行教科書上的題目很相像,可以這樣來解:
設寶庫中原有寶為1,則第壹人取走13,第二人取(1-12)×117=252
寶庫最後剩下
1-13-(1-13)×117=1-13-251=3251。
因此,寶庫原有寶
150÷3251=150×5132=23916。
列出綜合算式為
150÷\[1-13-(1-13)×117=239116。
《蘭特紙草書》還有這樣壹道題:
“有物品若幹件,其三分之二,其壹半,其七分之壹及其全部,***33件,求物品的件數。”
用算術法來解,可設全部為1,則物品的件數為
33÷(23+12+17+1)
=33÷9742=33×4297
=142897
答案是唯壹的,但是紙草書上的答案卻是
14,14,156,197,1194,1388,1679,1776。這是怎麽回事?難道這道題有八個答案嗎?
原來紙草書上用古埃及分數的形式給出答案,意思是14+14+156+197+1194+1388+1679+1776。不妨算出來看看:
14+14+156+197+1194+1388+1679+1776
=14+1456+156+197+197×2+197×4+197×7+197×8
=14+1456+8+4+2+197×8+197×7
=14+1456+1597×8+197×7
=14+1456+11397×56
=14+156897×56=142897
這和我們算得的答案相同。
3.詩歌中的
希臘是世界文明古國之壹,它有著燦爛的古代文化,在《希臘文集》中有壹些用詩歌寫成的數學題。
在“愛神的煩憂”中,愛羅斯在古代希臘神話中的愛神,吉波莉達是塞浦路斯島的守護神,九位文藝女神中,葉芙特爾波管音樂,愛拉托管愛情詩,達利婭管喜劇,特希霍拉管舞蹈,美利波美娜管悲劇,克裏奧管歷史,波利尼婭管頌歌,烏拉尼婭管天文,卡利奧帕管史詩。
愛神的煩憂
“愛羅斯在路旁哭泣,
淚水壹滴接壹滴。
吉波莉達向前問道:
‘是什麽事情使妳如此悲傷?
我可能夠幫助妳?’
愛羅斯回答道:
‘九位文藝女神,
不知來自何方,
把我從赫爾康山采回的蘋果,
幾乎壹掃而光。
葉芙特爾波飛快搶走十二分之壹,
愛拉托搶得更多——
七個蘋果中拿走壹個。
八分之壹被達利婭搶走,
比這多壹倍的蘋果落入特希霍拉之手。
美利波美娜最是客氣,
只取走二十分之壹。
可又來了克裏奧,
她的收獲比這多四倍。
還有三位女神,
個個都不空手:
30個蘋果歸波利尼婭,
120個蘋果歸烏拉尼婭,
300個蘋果歸卡利奧帕。
我,可憐的愛羅斯,
愛羅斯原有多少蘋果?還剩50個蘋果。’”
這首26行的詩,給出了壹道數字挺多的數學題,題目中原有蘋果數不知道,經過九位文藝女神的搶劫,愛羅斯只剩下50個蘋果,是“知道部分求全體類型”的數學題。
設愛羅斯原有蘋果數為x。
依題意,得
112x+17x+18x+14x+120x+15x
+30+120+300+50=x
整理,得143168x+500=x
∴x=33600(個)
下面的“獨眼巨人”中給出了另壹種類型的數學題:
“這是壹座獨眼巨人的銅像,
雕塑家技藝高超,
銅像中巧設機關:
巨人的手、口和獨眼,
都連接著大小水管,
通過手的水管,
三天流滿水池;
通過獨眼的水管——需要壹天;
從口中吐出的水更快,
五分之二天就足夠,
三處同時放水,
水池幾時流滿?”
設水池的容積為1,三管同開流滿水池所需時間為x天,
則13x+x+52x=1
∴x=623
下面是我國的壹首打油詩:
“李白提壺去買酒:
遇店加壹倍,
見花喝壹鬥。
三遇店和花,
喝光壺中酒。
試問壺中原有多少酒?”
這首打油詩的意思是,李白的壺裏原來就有酒,每次遇到酒店便將壺裏的酒增加壹倍;李白賞花時就要飲酒作詩,每次壹次喝壹鬥酒(鬥是古代裝酒的器具),這樣反復經過三次,最後將壺中的酒全部喝光,問李白原來壺中有多少酒?
解這道題最好使用反推法來解:
李白第三次見到花時,將壺中的酒全部喝光了,說明他見到花前,壺內只有壹鬥酒。進壹步推出李白第三次遇到酒店前,壺裏有12鬥酒,按著這種推算方法,可以算出第二次見到花前,壺裏有112鬥酒,第二次見到酒店前壺裏有112÷2=34鬥酒;第壹次見到花前壺134裏有鬥酒,第壹次遇到酒店前,壺裏有原來壺裏有鬥酒134÷2=78
原來壺裏有78鬥酒。
4.遺囑裏的
在按遺囑分配遺產的問題中,有許多有趣的數學題。
俄國著名數學家斯特蘭諾留勃夫斯基曾提出這樣壹道分配遺產問題:“父親在遺囑裏要求把遺產的13分給兒子,25分給女兒;剩余的錢中,2500盧布償還債務。3000盧布留給母親,遺產***有多少!子女各分多少!”
設總遺產為x盧布。
則有13x+25x+2500+3000=x
解得:x=20625。
兒子分20625×13=6875(盧布),
女兒分20625×25=8250(盧布)。
結果是女兒分得最多,得8250盧布,兒子次之,得6875盧布,母親分得最少,得3000盧布,看來父親是喜愛自己的女兒。
下面的故事最初在阿拉伯民間流傳,後來傳到了世界各國,故事說,壹位老人養了17只羊,老人去世後在遺囑中要求將17只羊按比例分給三個兒子,大兒子分給12,二兒子分給13,三兒子分19,在分羊時不充許宰殺羊。
看完父親的遺囑,三個兒子犯了愁,17是個質數,它既不能被2整除,也不能被3和9整除,又不許殺羊來分,這可怎麽辦?
聰明的鄰居得到這個消息後,牽著壹只羊跑來幫忙,鄰居說:“我借給妳們壹只羊,這樣18只羊就好分了。”
老大分18×12=9(只),
老二分18×13=6(只),
老三分18×19=2(只)。
合在壹起是9+6+2=17,正好17只羊,還剩下壹只羊,鄰居把它牽回去了。
羊被鄰居分完了。再深入想壹想這個問題,我們會發現遺囑中不合理的地方,如果把老人留的羊做為整體1的話,由於
12+13+19=1718
所以或者是三個兒子不能把全部羊分完,還留下118,哪個兒子也沒給1817;或者是要比他所留下的羊再多出壹只時,才可以分,聰明的鄰居就是根據1718這個分數,又領來壹只羊,湊成1818,分去1718,還剩下118只羊,就是他自己的那只羊。
再看壹道有關遺囑的題目:
某人臨死時,他的妻子已經懷孕,他對妻子說:“妳生下的孩子如果是男的,把財產的23給他,如果是女的25,把財產的給她,剩下的給妳。”說完就死了。
說也湊巧,他妻子生下的卻是壹男壹女雙胞胎,這壹下財產將怎樣分?
可以按比例來解:
兒子和妻子的分配比例是23∶13=2∶1
女兒和妻子的分配比便是25∶35=2∶3。
由此可知女兒、妻子、兒子的分配比例是2∶3∶6,按這個比例分配就合理了。
5.民謠中的
在世界各地流傳著壹些用民謠形式寫成的數學題。
美國民謠:
“壹個老酒鬼,名叫巴特恩,
吃肉片和排骨***用錢九角四分,
每塊排骨壹角壹,每片肉價只七分,
連排骨帶肉片吃了整十塊喲,
問問妳:
吃了幾塊排骨幾片肉,我們的巴特恩?”
可以這樣來解算:
假設巴特恩吃的是十片肉片的話,他壹***花70分錢,用94分減去70分,得差24分,這24分錢是什麽呢!
由於巴特恩吃的不都是肉片,有排骨,而壹塊排骨比壹片肉片貴11-7=4分,這24分是排骨和肉片差價得到的,可以求出巴特恩吃的排骨數:
(94-7×10)÷(11-7)
=24÷4=6(塊)
10-6=4(片)
巴特恩吃了六塊排,四片肉片。
中國也有類似的民謠:
“壹隊強盜壹隊狗,
二隊並作壹隊走,
數頭壹***三百六,
數腿壹***八百九,
問有多少強盜多少狗?”
這道題和《孫子算經》中的“雞兔同籠”是同壹種類型題,只不過,把雞換成強盜,把兔換成狗就是了,具體算法是
(360×4-890)÷(4-2)=275
360-275=85
強盜有275人,狗有85條。
還有首中國民謠:
“幾個老頭去趕集,
半路買了壹堆梨,
壹人壹個多壹個,
壹人兩個少兩梨。
究竟有幾個老頭、幾個梨?”
設人數為x,則梨為x+1個,依題意,得:
2x=(x+1)+2,
x=3,
x+1=4
“寒鴉與樹枝”是壹首俄羅斯的民謠:
“飛來幾只寒鴉,
落到樹枝上停歇。
要是每支樹枝上
落下壹只寒鴉,
那麽就有壹只寒鴉
缺少壹支樹枝;
要是每支樹枝上
落下兩只寒鴉,
那麽就有壹支樹枝
落不上寒鴉。
妳說***有幾只寒鴉?
妳說***有幾支樹枝?”
可以這樣來解:
如果每支樹枝上落兩只寒鴉,比每支樹枝落壹只寒鴉***多出2+1=3只寒鴉,而這時每支樹枝上所落寒鴉只數的差是2-1=1只。
用多出來的寒鴉數除以每支樹枝寒鴉數,就等於樹枝數。
因此,
(2+1)÷(2-1)
=3÷1=3(支)
寒鴉數為3+1=4(只)。
答案是有3支樹枝,4只寒鴉。
下面這首民謠也很有趣,是中國民謠:
“牧童王小良,放牧壹群羊。
問他羊幾只,請妳細細想。
頭數加只數,只數減頭數。
只數乘頭數,只數除頭數。
四數連加起,正好壹百數。”
其實頭數和只數是壹回事,因此,只數減頭數得0,只數除頭數得1。這樣壹來,有:只數×只數+2×只數=99。
使用試驗法,可得只數等於9,因為
9×9+2×9=99,故羊有9只。