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第十七屆“希望杯”全國數學邀請賽初壹 第2試
壹、選擇題(每小題4分，***40分．)以下每題的四個選項中，僅有壹個是正確的，請將表示正確答案的英文字母填在每題後面的圓括號內．
1．a和b是滿足ab≠0的有理數，現有四個命題：
① 的相反數是 ；
②a-b的相反數是a的相反數與b的相反數的差；
③ab的相反數是a的相反數和b的相反數的乘積；
④ab的倒數是a的倒數和b的倒數的乘積．
其中真命題有( )
(A)1個． (B)2個． (C)3個． (D)4個．
[答案] C
[分析] ③中ab的相反數是-ab，而a的相反數是-a， b的相反數是-a，它們乘積的相反數是ab。
[考點] 本題考察的是相反數定義與倒數定義的靈活運用。
2．在下面的圖形中，不是正方體的平面展開圖的是( )
[答案]C
[分析] 將題目中的展開圖形還原，只有答案B不能還原成正方體。
[考點] 本題考察的正方體展開圖形的特點。
3．在代數式 中，x與y的值各減少25％，則該代數式的值減少了( )
(A)50％． (B)75％ (C) (D) ．
[答案] C
[分析]設減少後所求的代數式為m，則有m= = 。
[考點] 本題考察的是整式乘法的運算及靈活運用。
4．若a<b<0<c<d，則以下四個結論中，正確的是( )
(A)a+b+c+d壹定是正數． (B)d+c-a-b可能是負數．
(C)d-c-b-a壹定是正數． (D)c-d-b-a壹定是正數．
[答案]C
[分析]本題應用特值排除法，對於A，如果設a=-2，b=-1，c=1，d=2，則a+b+c+d=0非正數；對於B，d+c>0，-a >-b>0，所以d+c-a-b壹定大於零；對於D，設a=-2，b=-1，c=1，d=5，則c-d-b-a=-1。
[考點]有理數的運算。
5．在圖1中，DA=DB=DC，則x的值是( )
(A)10． (B)20． (C)30． (D)40．
[答案] A
[分析]根據三角形內角和為 ，求得x=
[考點] 考察三角形角的計算。
6．已知a，b，c都是整數，m=|a+b|+|b-c|+|a-c|，那麽( )
(A)m壹定是奇數． (B)m壹定是偶數．
(C)僅當a，b，c同奇或同偶時，m是偶數． (D)m的奇偶性不能確定．
[答案] B
[分析] 利用特殊值法，設出具體數，代入代數式即可排出A、C、D選項。
[考點] 有理數的運算。
7．三角形三邊的長a，b，c都是整數，且[a，b，c]=60，(a，b)=4，(b，c)=3．(註：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍數，(a，b)表示a，b的最大公約數)，則a+b+c的最小值是( )
(A)30． (B)31． (C)32． (D)33．
[答案] B
[分析]由最小公倍數入手，由題意可知三個數中肯定有15和4，再根據最大公約數分別是4和3，以及其他已知條件，進壹步推知
[考點] 最大公約與最小公倍及三角形邊的問題。
8．如圖2，矩形ABCD由3×4個小正方形組成．此圖中，不是正方形的矩形有( )
(A)40個． (B)38個． (C)36個． (D)34個．
[答案] A
[分析] 本題可以從兩方面考慮，壹是從正面考慮，分別數出壹格、兩格、三格為邊的矩形數的個數，再求和即可；二是從反面考慮，先求出正方形和矩形數總數，再求出正方形數，總數-正方形數=矩形數。
[考點] 考查對圖形的認識 。
9．設a是有理數，用[a]表示不超過a的最大整數，如[1.7]=1，[-1]=-1，[0]=0，[-1.2]
=-2，則在以下四個結論中，正確的是( )
[答案] D。
[分析]利用特殊值法，設a=0，則 ；設a=-1.2，則有
[考點] 有理數的靈活運用。
10．On the number axis，there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively，and the distance between A and B is less than 10．Let m=5-2b。then the range of the value of m is( )
(英漢詞典：number axis數軸；point點；corresponding to對應於…；respectively分別地；distance距離；1ess than小於；value值、數值；range範圍)
[答案] C
[分析]先根據題意列出不等式組 ，由此解出b的範圍為 ，再根據m=5-2b，得出m與b的關系： ，即 ，解不等式得出m的取值範圍。
[考點] 壹元壹次不等式、不定式組解法 的靈活運用 。
二、填空題(每小題4分，***40分．)
[答案]
[分析] 將原是化成 = = =
[考點] 本題考察分式的簡便算法。
[答案] -3
[分析]由已知可得 ，原式= = ，再進壹步變形。
[考點] 本題考查了整式的運算。
13．圖3是壹個小區的街道圖，A、B、C、…、X、Y、Z是道路交叉的17個路口，站在任壹路口都可以沿直線看到過這個路口的所有街道．現要使崗哨們能看到小區的所有街道，那麽，最少要設______個崗哨．
[答案] 4
[分析] 找到符合題幹條件的點，而且是符合要求的最少的。
[考點] 本題考察對圖形的識別與理解。
[答案] -36
[分析]由題意可知， ，原式= = =-36
[考點] 本題考察了立方差公式的靈活運用。
=_________.
[答案]4026042
[分析]分別對原式的分子和分母進行運算，分子為2007 ，分母為 ，即原式為2006 。
[考點]考察了分式運算中的簡便運算思想。
16．乒乓球比賽結束後，將若幹個乒乓球發給優勝者．取其中的壹半加半個發給第壹名；取余下的壹半加半個發給第二名；又取余下的壹半加半個發給第三名；再取余下的壹半加半個發給第四名；最後取余下的壹半加半個發給第五名，乒乓球正好全部發完．這些乒乓球***有 ______個．
[答案] 31
[分析]解決本題的關鍵是分別表示出給每名優勝者的乒乓球數量，並找到壹般規律。
[詳解]解：設乒乓球***有x個，由題意得給第壹名的球數量為： ；第二名： ；第三名：
以此類推，第五名： .，所以有： ，解得 31。
17．有甲、乙、丙、丁四人，每三個人的平均年齡加上余下壹人的年齡之和分別為29，23，21和17歲，則這四人中最大年齡與最小年齡的差是_____歲．
[答案] 18
[分析]設出四個人的年齡，根據題意，分別表示出三個人的平均年齡與另外壹個人年齡的和。
[詳解]設四個人的年齡分別是 ，根據題意有 ，再將四個算式兩兩作差得： ， ， ， 。
所以最大年齡與最小年齡的差是18。
18．初壹(2)班的同學站成壹排，他們先自左向右從“1”開始報數，然後又自右向左從“1”開始報數，結果發現兩次報數時，報“20”的兩名同學之間(包括這兩名同學)恰有15人，則全班同學***有______人．
[答案] 53或25
[分析]本題是發散性題目，應該分兩種情況考慮。
[詳解]解：設全班壹***有x個人，根據題意可知由兩種情況：壹、從右向左報數時，報20的同學沒有到達第壹遍報數為20的同學所在的位置，則有： ；二、從右向左報數時，報20的同學超過第壹遍報數為20的同學所在的位置，則有 。
的末位數字是___________．
[答案] 0
[分析] 將原式變形，充分運用特值法。
[詳解] 原式= ，令 ，原式= ，因為2的乘方末位分別是2、4、8、6四個數的循環，所以 的末位數是8，所以原式的末位是0。
20．Assume that a，b，c，d are all integers，and four equations(a-2b)x=1，(b-3c)y=1，
(c-4d)z=1，w+100=d have always solutions x，y，z，w of positive numbers respectively,then the minimum of a is_____________．
(英漢詞典：to assume假設；integer整數；equation方程；solution(方程的)解；positive正的；respectively分別地；minimum最小值)
[答案]2433
[考點]本題考察了不定方程的討論思想。
三、解答題(本大題***3小題，***40分．) 要求：寫出推算過程．
21．(本小題滿分10分)
(1)證明：奇數的平方被8除余1．
(2)請妳進壹步證明：2006不能表示為10個奇數的平方之和．
（1）[分析] 設出奇數的壹般式.
證明：設任意的奇數為 ，則根據題意可得 = = ，
連續兩個整數相乘肯定是偶數，因此4k(k+1)能被8整除，
所以得證。
(2)假設2006可以表示為10個奇數的平方之和，也就是
(其中 , , ,…, 都是奇數)．
等式左邊被8除余2，而2006被8除余6．矛盾!
因此，2006不能表示為10個奇數的平方之和.
22．(本小題滿分15分)
如圖4所示，三角形ABC的面積為1，E是AC的中點，O是BE的中點．連結AO，並延長交BC於D，連結CO並延長交AB於F．求四邊形BDOF的面積．
設
因為 E是AC的中點，0是BE的中點，
所以
則
由 得
即
又
由 得
即 所以
23．(本小題滿分15分)
老師帶著兩名學生到離學校33千米遠的博物館參觀．老師乘壹輛摩托車，速度為25千米／小時．這輛摩托車後座可帶乘壹名學生，帶人後速度為20千米／小時．學生步行的速度為5千米／小時．請妳設計壹種方案，使師生三人同時出發後都到達博物館的時間不超過3個小時．
[分析] 解本題的關鍵是，分析出老師帶壹名學生走到壹定的位置後返回去接另壹名學生。並理清各時間段所走的路程。
[詳解]解：設老師帶壹名學生走了x米後，放下這名學生返回接另壹名學生，則根據提意有全程分了三個時間段， 老師帶第壹個學生走的時間， 老師返回接第二個學生的時間， 老師帶第二個學生到達博物館的時間， ， ， ，
解得 =24，所以老師帶著壹個學生走出24米的時候，再回去帶另壹個學生，可以保證三人同時出發後都到達博物館的時間不超過3小時。