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第十六屆“希望杯”全國數學邀請賽初二 第2試 答案及詳解

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第十六屆“希望杯”全國數學邀請賽

初二 第2試

2005年4月17日 上午8∶30至10∶30

壹、選擇題(每小題5分,***50分)以下每題的四個選項中,僅有壹個是正確的,請將表示正確答案的英文字母填在每題後面的圓括號內.

1、若a,b均為正整數,m=ab(a+b),則( )

A.m壹定是奇數 B.m壹定是偶數

C.只有當a,b均為偶數時,m是偶數 D.只有當a,b壹個為偶數,另壹個為奇數時,m是偶數

2、設,,則等於( )

A. B.- C.-3 D.3

3、Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,,then the value of is( )

A.14 B.13 C.12 D. 11

(英漢詞典 positive integers:正整數. prime numbers:質數)_

4、購買鉛筆7支,作業本3個,圓珠筆1支***需3元;購買鉛筆10支,作業本4個,圓珠筆1支***需4元,則購買鉛筆11支,作業本5個,圓珠筆2支***需( )

A.4.5元 B.5元 C.6元 D.6.5元

5、計算機將信息轉換成二進制數來處理.二進制是“逢二進壹”,如二進制數(1101)2轉換成十進制數是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那麽二進制數轉換成十進制數是( )

A.22004+1 B.22005 C.22005-1 D.22005+1

6、已知△ABC的三個內角的比是m∶(m+1) ∶(m+2),其中是m大於1的正整數,那麽△ABC是( )

A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形

7、已知△ABC的三條高的比是3∶4∶5,且三條邊的長均為整數,則△ABC的邊長可能是( )

A.10 B.12 C.14 D.16

8、已知兩位數能被3整除,它的十位數字與個位數字的乘積等於它的個位數字,且它的任意次冪的個位數字等於它的個位數字。這樣的兩位數***有( )

A.1個 B.3個 C.4個 D.5個

9、放成壹排的2005個盒子中***有4010個小球,其中最左端的盒子中放了a個小球,最右端的盒子中放了b個小球,如果任何相鄰的12個盒子中的小球***有24個,則( )

A.a=b=2 B.a=b=1 C.a=1,b=2 D.a=2,b=1

10、已知整數,,滿足≤<,且那麽x2+y2+z2的值等於( )

A.2 B.14 C.2或14 D.14或17

二、填空題(每小題5分,***50分.含兩個空的小題,前空3分,後空2分.)

11、如果|a|=3,|b|=5,那麽|a+b|-|a-b|的絕對值等於 .

12、已知,則= .

13、某汽車從A地駛向B地,若每分鐘行駛a千米,則11點到達,若每分鐘行駛a千米,則11∶20時距離B地還有10千米;如果改變出發時間,若每分鐘行駛a千米,則11點到達,若每分鐘行駛a千米,則11∶20時已經超過B地30千米。A、B兩地的路程是 千米。

14、若是壹個六位數,其中a,b,c是三個互異的數字,且都不等於0,1,2,3,又M是7的倍數,那麽M的最小值是 .

15、分解因式: .

16、若在凸n(n為大於3的自然數)邊形的內角中,最多有M個銳角,最少有m個銳角,則M= ;

m= .

17、如圖1,等腰Rt△ABC的直角邊長為32,從直角頂點A作斜邊BC的垂線交BC於D1,再從D1作D1D2⊥AC交AC於D2,再從D2作D2D3⊥BC交BC於D3,…,則AD1+D2D3+D4D5+D6D7+D8D9=

;D1D2+D3D4+D5D6+D7D8+D9D10= .

18、如圖2,將三角形紙片ABC沿EF折疊可得圖3(其中EF‖BC),已知圖3的面積與原三角形的面積之比為3∶4,且陰影部分的面積為8平方厘米,則原三角形面積為 平方厘米。

19、如圖4,△ABC中,BC∶AC=3∶5,四邊形BDEC和ACFG均為正方形,已知△ABC與正方形BDEC的面積比是3∶5,那麽△CEF與整個圖形的面積比等於 .

20、如果正整數n有以下性質:n的八分之壹是平方數,n的九分之壹是立方數,它的二十五分之壹是五次方數,那麽n就稱為“希望數”,則最小的希望數是 .

三、解答題(每題10分,***30分) 要求:寫出推算過程.

21、圖5是壹個長為400米的環形跑道,其中A、B為跑道對稱軸上的兩點,

且A、B之間有壹條50米的直線通道。甲、乙兩人同時從A點出發,甲按

逆時針方向以速度v1沿跑道跑步,當跑到B點處時繼續沿跑道前進,乙按

順時針方向以速度v2沿跑道跑步,當跑到B點處時沿直線通道跑回A點處。

假設兩人跑步時間足夠長。求:

⑴如果v1∶v2=3∶2,那麽甲跑了多少路程後,兩人首次在A點處相遇?

⑵如果v1∶v2=5∶6,那麽乙跑了多少路程後,兩人首次在B點處相遇?

22、⑴如果a是小於20的質數,且可化為壹個循環小數,那麽a的取值有哪幾個?

⑵如果a是小於20的合數,且可化為壹個循環小數,那麽a的取值有哪幾個?

23、如圖6,正三角形ABC的邊長為a,D是BC的中點,P是AC邊上的點,連結PB和PD得到△PBD。求:

⑴當點P運動到AC的中點時,△PBD的周長;

⑵△PBD的周長的最小值。

第十六屆“希望杯”全國數學邀請賽

參考答案及評分標準

初中二年級 第2試

壹、選擇題(每小題5分)

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B C D B C A B C A A

二、填空題(每小題5分,含兩個空的小題,前空3分,後空2分)

題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

答案 6 54 468321 3;0 31;31 16 215·320·512

三、解答題

21、⑴設甲跑了n圈後,兩人首次在A點處相遇,再設甲、乙兩人的速度分別為v1=3m,v2=2m,

由題意可得在A處相遇時,他們跑步的時間是 (2分)

是 (3分)

因為乙跑回到A點處,所以應是250的整數倍,從而知n的最小值是15,(4分)

所以甲跑了15圈後,兩人首次在A點處相遇 (5分)

⑵設乙跑了米,甲跑了米時,兩人首次在B點處相遇,設甲、乙兩人的速度分別為v1=5m,v2=6m,由題意可得,即 , (7分)

所以,即(p,q均為正整數)。

所以p,q的最小值為q=2,p=4, (8分)

此時,乙跑過的路程為250×4+200=1200(米)。 (9分)

所以乙跑了1200米後,兩人首次在B點處相遇。 (10分)

22、⑴小於20的質數有2,3,5,7,11,13,17,19 (2分)

除了2和5以外,其余各數的倒數均可化為循環小數, (4分)

所以a可以取:3,5,7,11,13,17,19。 (5分)

⑵由⑴可知,只要合數a的因數中含有2或5以外的質數,那麽該數的倒數均可化為循環小數,(8分)

所以a可以取:6,9,12,14,15,18。 (10分)

23、⑴如圖1,當點P運動到AC的中點時,BP⊥AC,DP‖AB, (2分)

所以 ,,, (4分)

即△ABC的周長為BP+DP+BD=。 (5分)

⑵如圖2,作點B關於AC的對稱點E,連結EP、EB、ED、EC,則PB+PD=PE+PD,因此ED的長就是PB+PD的最小值,即當點P運動到ED與AC的交點G時,△PBD的周長最小。 (7分)

從點D作DF⊥BE,垂足為F,因為BC=a,所以,。

因為∠DBF=30°,所以,,

,。 (9分)

所以△PBD的周長的最小值是。 (10分)