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第十六屆“希望杯”全國數學邀請賽
初二 第2試
2005年4月17日 上午8∶30至10∶30
壹、選擇題（每小題5分，***50分）以下每題的四個選項中，僅有壹個是正確的，請將表示正確答案的英文字母填在每題後面的圓括號內.
1、若a，b均為正整數，m=ab(a＋b)，則（ ）
A．m壹定是奇數 B．m壹定是偶數
C．只有當a，b均為偶數時，m是偶數 D．只有當a，b壹個為偶數，另壹個為奇數時，m是偶數
2、設，，則等於（ ）
A． B．－ C．－3 D．3
3、Given a，b，c are positive integers，and a，b are prime numbers，，then the value of is（ ）
A．14 B．13 C．12 D． 11
(英漢詞典 positive integers：正整數. prime numbers：質數)_
4、購買鉛筆7支，作業本3個，圓珠筆1支***需3元；購買鉛筆10支，作業本4個，圓珠筆1支***需4元，則購買鉛筆11支，作業本5個，圓珠筆2支***需（ ）
A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元
5、計算機將信息轉換成二進制數來處理.二進制是“逢二進壹”，如二進制數(1101)2轉換成十進制數是1×23＋1×22＋0×21＋1×20=13，那麽二進制數轉換成十進制數是（ ）
A．22004＋1 B．22005 C．22005－1 D．22005＋1
6、已知△ABC的三個內角的比是m∶(m＋1) ∶(m＋2)，其中是m大於1的正整數，那麽△ABC是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
7、已知△ABC的三條高的比是3∶4∶5，且三條邊的長均為整數，則△ABC的邊長可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8、已知兩位數能被3整除，它的十位數字與個位數字的乘積等於它的個位數字，且它的任意次冪的個位數字等於它的個位數字。這樣的兩位數***有（ ）
A．1個 B．3個 C．4個 D．5個
9、放成壹排的2005個盒子中***有4010個小球，其中最左端的盒子中放了a個小球，最右端的盒子中放了b個小球，如果任何相鄰的12個盒子中的小球***有24個，則（ ）
A．a=b=2 B．a=b=1 C．a=1，b=2 D．a=2，b=1
10、已知整數，，滿足≤＜，且那麽x2＋y2＋z2的值等於（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
二、填空題（每小題5分，***50分.含兩個空的小題，前空3分，後空2分.）
11、如果|a|=3，|b|=5，那麽|a＋b|－|a－b|的絕對值等於 .
12、已知，則= .
13、某汽車從A地駛向B地，若每分鐘行駛a千米，則11點到達，若每分鐘行駛a千米，則11∶20時距離B地還有10千米；如果改變出發時間，若每分鐘行駛a千米，則11點到達，若每分鐘行駛a千米，則11∶20時已經超過B地30千米。A、B兩地的路程是 千米。
14、若是壹個六位數，其中a，b，c是三個互異的數字，且都不等於0，1，2，3，又M是7的倍數，那麽M的最小值是 .
15、分解因式： .
16、若在凸n(n為大於3的自然數)邊形的內角中，最多有M個銳角，最少有m個銳角，則M= ；
m= .
17、如圖1，等腰Rt△ABC的直角邊長為32，從直角頂點A作斜邊BC的垂線交BC於D1，再從D1作D1D2⊥AC交AC於D2，再從D2作D2D3⊥BC交BC於D3，…，則AD1＋D2D3＋D4D5＋D6D7＋D8D9=
；D1D2＋D3D4＋D5D6＋D7D8＋D9D10= .
18、如圖2，將三角形紙片ABC沿EF折疊可得圖3(其中EF‖BC)，已知圖3的面積與原三角形的面積之比為3∶4，且陰影部分的面積為8平方厘米，則原三角形面積為 平方厘米。
19、如圖4，△ABC中，BC∶AC=3∶5，四邊形BDEC和ACFG均為正方形，已知△ABC與正方形BDEC的面積比是3∶5，那麽△CEF與整個圖形的面積比等於 .
20、如果正整數n有以下性質：n的八分之壹是平方數，n的九分之壹是立方數，它的二十五分之壹是五次方數，那麽n就稱為“希望數”，則最小的希望數是 .
三、解答題（每題10分，***30分） 要求：寫出推算過程.
21、圖5是壹個長為400米的環形跑道，其中A、B為跑道對稱軸上的兩點，
且A、B之間有壹條50米的直線通道。甲、乙兩人同時從A點出發，甲按
逆時針方向以速度v1沿跑道跑步，當跑到B點處時繼續沿跑道前進，乙按
順時針方向以速度v2沿跑道跑步，當跑到B點處時沿直線通道跑回A點處。
假設兩人跑步時間足夠長。求：
⑴如果v1∶v2=3∶2，那麽甲跑了多少路程後，兩人首次在A點處相遇？
⑵如果v1∶v2=5∶6，那麽乙跑了多少路程後，兩人首次在B點處相遇？
22、⑴如果a是小於20的質數，且可化為壹個循環小數，那麽a的取值有哪幾個？
⑵如果a是小於20的合數，且可化為壹個循環小數，那麽a的取值有哪幾個？
23、如圖6，正三角形ABC的邊長為a，D是BC的中點，P是AC邊上的點，連結PB和PD得到△PBD。求：
⑴當點P運動到AC的中點時，△PBD的周長；
⑵△PBD的周長的最小值。
第十六屆“希望杯”全國數學邀請賽
參考答案及評分標準
初中二年級 第2試
壹、選擇題（每小題5分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A B C A A
二、填空題（每小題5分，含兩個空的小題，前空3分，後空2分）
題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 6 54 468321 3；0 31；31 16 215·320·512
三、解答題
21、⑴設甲跑了n圈後，兩人首次在A點處相遇，再設甲、乙兩人的速度分別為v1=3m，v2=2m，
由題意可得在A處相遇時，他們跑步的時間是 （2分）
是 （3分）
因為乙跑回到A點處，所以應是250的整數倍，從而知n的最小值是15，（4分）
所以甲跑了15圈後，兩人首次在A點處相遇 （5分）
⑵設乙跑了米，甲跑了米時，兩人首次在B點處相遇，設甲、乙兩人的速度分別為v1=5m，v2=6m，由題意可得，即 ， （7分）
所以，即(p，q均為正整數)。
所以p，q的最小值為q=2，p=4， （8分）
此時，乙跑過的路程為250×4＋200=1200（米）。 （9分）
所以乙跑了1200米後，兩人首次在B點處相遇。 （10分）
22、⑴小於20的質數有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）
除了2和5以外，其余各數的倒數均可化為循環小數， （4分）
所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）
⑵由⑴可知，只要合數a的因數中含有2或5以外的質數，那麽該數的倒數均可化為循環小數，（8分）
所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分）
23、⑴如圖1，當點P運動到AC的中點時，BP⊥AC，DP‖AB， （2分）
所以 ，，， （4分）
即△ABC的周長為BP＋DP＋BD=。 （5分）
⑵如圖2，作點B關於AC的對稱點E，連結EP、EB、ED、EC，則PB＋PD=PE＋PD，因此ED的長就是PB＋PD的最小值，即當點P運動到ED與AC的交點G時，△PBD的周長最小。 （7分）
從點D作DF⊥BE，垂足為F，因為BC=a，所以，。
因為∠DBF=30°，所以，，
，。 （9分）
所以△PBD的周長的最小值是。 （10分）