用以計量事物的件數或表示事物次序的數 。 即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數 。自然數由0開始 ， 壹個接壹個，組成壹個無窮集合。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。自然數是人們認識的所有數中最基本的壹類，為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論棗自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。
序數理論是意大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義。
自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有壹個元素，記作1。②N中每壹個元素都能在 N 中找到壹個元素作為它的後繼者。③ 1不是任何元素的後繼者。④ 不同元素有不同的後繼者。⑤（歸納公理）N的任壹子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麽M＝N。
基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立壹壹對應關系的有限集具有***同的數量特征，這壹特征叫做基數 。這樣 ，所有單元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同壹基數 ， 記作1 。類似，凡能與兩個手指頭建立壹壹對應的集合，它們的基數相同，記作2，等等 。自然數的加法 、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是壹致的。
自然數在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數。
“0”是否包括在自然數之內存在爭議，有人認為自然數為正整數，即從1開始算起；而也有人認為自然數為非負整數，即從0開始算起。目前關於這個問題尚無壹致意見。不過，在數論中，多采用前者；在集合論中，則多采用後者。目前，我國中小學教材將0歸為自然數！詳情請見/、www.1088.com.cn 自然數是整數，但整數不全是自然數。
例如：-1 -2 -3......是整數 而不是自然數
整數（Integer）
序列
…，-2，-1，0，1，2，…
中的數稱為整數．整數的全體構成整數集，它是壹個環，記作Z（現代通常寫成空心字母Z）．環Z的勢是阿列夫0．
在整數系中,自然數為正整數,稱0為零,稱-1,-2,-3,…,-n,… 為負整數.正整數,零與負整數構成整數系.
正整數是從古代以來人類計數(counting)的工具.可以說,從「壹頭牛,兩頭牛」或是「五個人,六個人」抽象化成正整數的過程是相當自然的.事實上,我們有時候把正整數叫做自然數(the natural numbers).
零不僅表示「無」,更是表示空位的符號.中國古代用算籌計算數並進行運算時,空位不放算籌,雖無空 位記號,但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件.印度-阿拉伯命數法中的零(zero)來自印度的(sunya)字,其原意也是「空」或「空白」.
中國最早引進了負數.《九章算術.方程》中論述的「正負數」,就是整數的加減法.減法的需要也促進了負整數的引入.減法運算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然數,則所給方程未必有自然數解.為了使它恒有解,就有必要把自然數系擴大為整數系.
正整數,零,和負整數合稱整數(the integers).整數是人類能夠掌握的最基本的數學工具.十九世紀德國偉大數學家 Kronecker因此說:「只有整數是上帝創造的,其他的都是人類自己制造的.」
壹個給定的整數n可以是負數（n∈Z-），非負數（n∈Z*），零（n=0）或正數（n∈Z+）．
有理數（rational number)：
有理數是壹個整數 a 和壹個非零整數 b 的比，通常寫作 a/b。
包括整數和通常所說的分數，此分數亦可表示為有限小數或無限循環小數。
這壹定義在數的十進制和其他進位制（如二進制）下都適用。
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數。
有理數還可以劃分為正有理數、負有理數和0。
全體有理數構成壹個集合，即有理數集，用粗體字母Q表示，較現代的壹些數學書則用空心字母Q表示。
有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。
有理數集是壹個域，即在其中可進行四則運算（0作除數除外），而且對於這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數）：
①加法的交換律 a+b=b+a；
②加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在數0，使 0+a=a+0=a；
④對任意有理數a，存在壹個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交換律 ab=ba；
⑥乘法的結合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數a，1a=a1=a；
⑨對於不為0的有理數a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0
此外，有理數是壹個序域，即在其上存在壹個次序關系≤。
有理數還是壹個阿基米德域，即對有理數a和b，a≥0，b>0，必可找到壹個自然數n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數。
值得壹提的是有理數的名稱。“有理數”這壹名稱不免叫人費解，有理數並不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是壹個翻譯上的失誤。有理數壹詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裏的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非沒有道理。
有理數加減混合運算
1.理數加減統壹成加法的意義：
對於加減混合運算中的減法，我們可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法，這樣就可將混合運算統壹為加法運算，統壹後的式子是幾個正數或負數的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數和。
2.有理數加減混合運算的方法和步驟：
（1）運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。
（2）運用加法法則，加法交換律，加法結合律簡便運算。
有理數範圍內已有的絕對值，相反數等概念，在實數範圍內有同樣的意義。
詞典含義 shíshù （壹）數學名詞。不存在虛數部分的復數，有理數和無理數的總稱。 （二）真實的數字。例公司到底還有多少錢？請妳告訴我實數！ 基本概念 實數包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數，有理數就包括無限循環小數、有限小數、整數。 數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點壹壹對應的數。本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。 實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數