壹個叫曼茨先生的矮個子黑人穿著緊身藍色西裝站在教室前面，手裏拿著壹個小木球，聲音又高又渾。他把球放在壹個有凹槽的斜坡上，讓它壹直滾到底。然後他開始說話，設加速度為a，時間為t，突然，他開始在黑板上寫字母，數字，等號，於是我的腦子就關了。
至少在這本半自傳體重述普拉斯壹生的書中，曼茨先生曾經寫過壹本400多頁的書，書中沒有圖片和照片，只有圖表和公式。
這就像試圖欣賞普拉斯的詩，卻不是自己讀，而是聽別人讀。在普拉斯的故事版本中，她是這門課唯壹得A的學生，但物理仍然讓她感到恐懼。
畢竟，數學是理性的詩歌，詩歌是心靈的數學。——大衛·尤金·史密斯(美國數學家、教育家)
物理學家理查德·費曼對物理學做了完全不同的介紹。諾貝爾獎得主費曼是壹個充滿激情的人。他通常喜歡打手鼓。他更像壹個務實的出租車司機，而不是壹個頭腦清醒的知識分子。
費曼11歲的時候，壹次不經意的談話對他產生了巨大的影響。他告訴他的朋友，思考只是在自言自語。
“是這樣嗎？”費曼的朋友說:“妳知道汽車曲軸的形狀極其復雜吧？”
“是啊，那又怎麽樣？”
“是的。現在告訴我，妳在自言自語的時候是怎麽描述這個形狀的？”
正是這個問題讓費曼意識到，如果思想可以用語言表達，那麽它們就可以用圖像來表達。
後來，他寫道，作為壹名學生，他試圖想象壹些概念，並將其形象化，比如電磁波，這是壹種無形的能量流，從陽光到手機信號都由它攜帶。但他很難用語言來描述他心中所見。如果連世界上最偉大的科學家之壹都無法想象如何看待壹些(誠然不可想象的)物理學概念，我們普通人該怎麽辦？
我們可以在詩的國度裏找到靈感和靈感。讓我們來看看美國歌手兼詞作者喬納森·科爾頓寫的壹首歌的歌詞，這首歌叫做“曼德爾伯格集”，是關於著名數學家伯努瓦·曼德爾布羅的。
天堂裏的曼德勃羅。
他讓我們在混亂中看到希望。
他的幾何學在別人失敗的地方取得了成功。
所以，如果妳迷路了，壹只蝴蝶會扇動翅膀。
幾百萬公裏外，壹個小小的奇跡會送妳回家。
在庫爾頓動人的文字中，他捕捉到了曼德勃羅傑出的數學本質，從中我們可以在腦海中形成圖像——只有蝴蝶的翅膀輕輕顫動、擴散，甚至影響到數百萬公裏之外。
Mandelbrot創造的新幾何告訴我們，有時看起來粗糙混亂的東西，比如雲、海岸線，在某種程度上是有規律的。視覺的復雜可以通過簡單的規則創造出來，就像現代動畫電影制作中的神奇手段壹樣。庫爾頓的詩也影射了曼德爾布羅的成就中所包含的概念——宇宙某壹部分微小而微妙的變化最終會對其他壹切產生影響。
妳讀庫爾頓的歌詞越多，妳就會發現這個概念可以應用在生活的方方面面——妳對曼德爾布羅的成就理解得越深，這些意義就會變得越清晰。
就像詩歌和方程式裏也有隱藏的含義壹樣。如果妳是壹個看物理方程的新手，沒有人教妳如何閱讀和理解符號下的生動內涵，那麽這些方程表達式對妳來說就是死壹般的沈默。只有當妳開始學習，把隱藏的內容賦予方程表達式的時候，它的內涵才開始跳躍流動，最終像生命壹樣呈現在妳面前。
在壹篇經典論文中，物理學家Jeffrey prentiss比較了新手物理學家和成熟物理學家在看待方程方面的差異。新手看壹個方程，只是給記憶中互不相關的海量方程增加了壹個記憶。但是，更高水平的學生和物理學家可以在腦海中看到方程背後的意義，看到它是如何被放置在宏觀背景中的，甚至對方程的壹部分也有同感。數學家需要壹些詩意的氣質才能名副其實。
——卡爾·魏爾斯特拉斯(德國教育家)
當妳把字母A想成加速度的時候，妳可能會感覺像是在車上踩油門。砰！妳感覺到加速的推力。
但是有必要每次看到字母A就勾起這種感覺嗎？當然不是。妳不想喚起妳學習中的每壹個小細節，否則妳會發瘋的。然而，如果妳看到方程中到處都是A的圖形，並試圖分析它的含義，那麽推回的感覺就會在妳大腦的背景中徘徊，就像壹大塊準備潛入工作記憶的東西。
同樣，當妳把n看成質量時，妳可能會感受到壹塊50磅的巨石的慵懶慣性，移動它是壹個大工程。當妳把F當作壹個力，妳可能會通過心靈的眼睛看到力背後的秘密，如等式F=ma所示，力取決於質量和加速度:ma。也許妳就能明白f背後的玄機了，Force對巨石的懶人質量施加了壹個升力動量(加速度)。
讓我們錦上添花吧。做功的物理術語意味著能量。當我們推(用力)壹個東西，讓它通過壹段距離，我們就把它詩意化了:W=Fd。壹旦我們看到W代表做功，那麽我們就可以通過心靈的眼睛，甚至通過身體的感覺來想象它背後的意義。最後我們摘抄了壹行方程詩，像下面這樣。
W
W=Fd
W=(ma)d
換句話說，符號和方程式背後隱藏著信息——壹旦人們對概念越熟悉，它們的含義就會越清晰。雖然科學家們並不這樣表達，但他們往往把方程視為詩歌的壹種形式，這樣他們就可以用符號快速地寫下他們試圖看清楚和理解的東西。壹個好的觀察者能意識到壹首詩的深度，它有許多可能的含義。同樣，知識日趨成熟的學生也能逐漸學會通過心靈的眼睛看到方程背後隱藏的含義，甚至憑直覺形成不同的解讀。毫不奇怪，圖片、表格或其他圖像也有隱藏的含義——在頭腦的眼中，它們的內涵甚至比紙上的更豐富。
這壹點我們之前提到過，現在對如何想象方程背後的概念有了更深的理解，值得我們關註。在努力學習數學和科學時，我們能做的最重要的事情就是賦予我們頭腦中抽象的概念以生命。
例如，聖地亞哥·拉蒙-卡哈爾(Santiago Ramon-Cahal)將他面前的微觀場景視為生活在其中的壹群小生物。他們有希望和夢想，就像人類自己壹樣。卡哈爾的同事和朋友、synapse壹詞的創造者查爾斯·謝靈頓爵士(Sir Charles sherrington)告訴朋友們，他從未見過任何壹位科學家像卡哈爾那樣讓自己的工作充滿活力。謝靈頓猜想這可能是促使卡哈爾走向成功的關鍵因素。
愛因斯坦的相對論不是源於他的數學能力(他經常需要和數學家合作才能進步)，而是源於他“假裝”的能力。他把自己想象成壹個以光速運動的光子，然後想象第二個光子會怎麽看他。第二個光子會看到什麽，感受到什麽？
芭芭拉·麥克林托克(Barbara mcclintock)因發現基因轉座的存在(“跳躍基因”會改變她在DNA鏈上的位置)而獲得諾貝爾獎。她曾經寫道她如何想象她研究的玉米植物:“我甚至可以看到染色體的內部組成部分——事實上，壹切都在那裏。因為我幾乎感覺自己就在其中，染色體是我的朋友，這讓我很驚訝。"
也許在心靈的註視下，把這些元素和生物機制想象成有生命的東西來研究，讓它們有自己的感覺和思想，是很愚蠢的。但是這種方法很有效，它讓研究對象活了起來，它可以幫助妳看到和理解壹些現象，而這些現象是妳僅僅看著枯燥的數字和公式是無法直觀感受到的。
簡化也很重要。為了方便他們自己的理解，本章前壹部分提到的那個打邦戈鼓的物理學家理查德·費曼(richard feynman)以要求科學家和數學家簡單解釋他們的概念而聞名。令人驚訝的是，無論概念有多復雜，幾乎任何概念都可以簡單解釋。為了醞釀壹個簡單的解釋，妳把壹個復雜的材料分解成幾個關鍵要素，結果就是妳對材料的理解更加深刻。學習專家斯科特·揚提出了這個概念，也稱為費曼方法。這種方法要求人們找到簡單的隱喻或類比來幫助他們理解概念的主旨。
傳奇人物查爾斯·達爾文也做了同樣的事情。當他試圖解釋壹個概念時，他會想象有人剛剛走進他的書房。他會放下筆，盡量用最簡單的語言解釋。這讓他知道如何用語言描述這個概念。同樣，Reddit.com網站有壹個名為“像5歲小孩壹樣解釋”的板塊，任何人都可以在這裏張貼復雜話題的簡單答案。
妳可能會覺得需要了解，才能給出解釋。但是請註意當妳和周圍的人談論學習時會發生什麽。在試圖向別人和自己解釋的時候，妳常常會驚訝地發現，理解往往是解釋的產物，而不是解釋之前的理解。這也是為什麽老師們常說，第壹次真正理解教材，是在自己教學生的時候。
很高興見到妳！
學有機化學和認識壹些新人沒什麽區別。每個元素都有自己獨特的個性。妳對他們的性格了解得越多，妳就越能理解他們的處境，越能預測他們交往的結果。
——凱瑟琳·諾爾塔(哲學博士，化學高級講師，金蘋果獎獲得者，該獎項授予密歇根大學公認的傑出教員)。
該妳試試了！
？在大腦中自我指導和自我表演
想象自己在研究內容中——妳是從細胞中電子的角度，甚至是從壹個數學概念的角度來看待這個世界。試著和妳的新朋友壹起表演壹出戲，想象他們會有什麽感覺和反應。
遷移是將妳從壹個知識背景中學到的知識應用到另壹個知識背景的能力。例如，也許在學完壹門外語後，妳發現學第二門外語比學第壹門外語更容易。這是因為當妳學習第壹外語時，妳獲得了基本的語言學習技能，同時妳潛在地學習了類似的新單詞和語法結構，這些都轉移到了妳的第二外語學習中。
學習數學但將其應用於特定學科，如會計、工程或經濟學，有點像決定不認真學習另壹門外語——只堅持壹門語言，多學幾個英語單詞。很多數學家認為，完全為了某壹特定學科而學習數學的方法，會讓妳更加難以靈活地、創造性地運用數學。
他們認為，如果妳按照他們教妳的方式學習數學，即圍繞抽象而形成的組塊概念的本質，而妳的頭腦中沒有具體的應用範疇，妳就可以獲得輕松地將知識轉移到各種應用的技能。也可以說，獲得這樣的技能，就像在語言學習中獲得基本的語言學習技能壹樣。例如，妳可能是壹名物理系學生，但通過使用妳抽象的數學知識，妳可以很快理解如何將數學應用到其他非常不同的領域，如生物、金融，甚至心理學。
這也是數學家喜歡從抽象的角度來教數學的壹部分原因，因為不必馬上把視野縮小到具體的應用。他們想讓妳看到概念的本質，考慮到將概念轉移到各種問題上會更容易。如果用語言學來打比方，就好像他們不想讓妳學會用壹種特定的語言說“我跑了”這句話，不管是阿爾巴尼亞語、立陶宛語還是冰島語，但他們期望妳能理解更基本的概念，比如動詞，這些都是需要改變的。
困境在於，如果妳將概念直接應用於具體問題，往往更容易掌握壹種數學思想，即使這樣做之後將概念轉移到新的領域會更加困難。不出所料，我們最終會看到，關於具體和抽象的數學學習方法，總有壹個迫切的討論。所以數學家退後壹步，試圖抓住高地，以確保學習過程圍繞抽象方法進行。相反，很多其他專業，比如工科、商科，自然傾向於專攻某壹特定領域的數學，以提高學生的參與感，避免學生抱怨“這個什麽時候能用？”具體應用數學也為這個問題所困擾。數學課本上的很多“真實世界”的問題和答案，只是被學生們換了壹個薄薄的偽裝放進書本裏練習。最後，我們看到具體方法和抽象方法各有利弊。
遷移的好處是，隨著壹門學科難度的增加，遷移往往能讓學生學得更輕松。正如匹茲堡大學教授傑森·德尚所說，“我總是告訴我的學生，隨著他們護理項目的進展，要學的東西會越來越少，但他們不相信我。事實上，他們每學期學到的東西越來越多，他們只是更善於整合所學的東西。”
拖延癥最嚴重的壹個方面就是不斷打斷妳的註意力去查看手機短信、郵件或其他更新，這會幹擾遷移。時不時地打斷自己的工作，不僅會妨礙學生深入學習，還會妨礙他們輕易地將所學轉移到其他問題上。妳可能覺得妳查短信的時候沒有停止學習，但現實是妳的大腦因為沒有足夠的集中時間而無法形成固化的神經塊，但這些塊是概念遷移到其他區域的核心。
概念遷移，效果不錯。
？我在五大湖學會了釣魚技巧。去年我去佛羅裏達群島試了壹下。完全不同的魚，完全不同的餌料，沒用過的釣法，但是效果不錯。人們認為我病得很重，但有趣的是，我用這種方法向他們展示我真的能抓魚。
？——帕特裏克·斯金金(歷史專業大四學生)
本章摘要
方程只是抽象和簡化概念的方法。由此可見，方程式中所包含的深層含義，與詩歌中的類似。
妳的“心靈之眼”很重要，因為它幫助妳在頭腦中排練，並將妳所學到的東西人格化。
遷移是將妳從壹個知識背景中學到的知識應用到另壹個知識背景的能力。
關鍵是掌握壹個數學概念的語塊本質，這將有利於概念的遷移及其新的應用。
在學習的過程中，壹心多用使得學習無法進行，這會限制妳對所學知識的遷移能力。
停下來回顧壹下
合上書，看向別處。這壹章的要點是什麽？妳能用腦海中的符號描述這些概念嗎？
學習促進
1.寫壹首方程詩，用幾句話展示壹個標準方程背後的內涵。
2.寫出如何指導和表演妳正在學習的壹些概念。妳覺得這部劇裏的人物會有什麽現實感，會發生什麽樣的互動？
拿出妳學過的壹個數學概念，看看這個概念是如何應用到壹個具體的例子中的。後退壹步，看看這個應用示例。妳能欣賞它背後的抽象概念組塊嗎？妳能想出壹種完全不同的方式來使用這個概念嗎？
我是齊Xi喬嶽，祝妳晚安...