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余切函數圖像與性質

在直角三角形中,某銳角的相鄰直角邊和相對直角邊的比,叫做該銳角的余切[1]。余切與正切互為倒數,用“cot+角度”表示。余切函數的圖象由壹些隔離的分支組成(如圖)。余切函數是無界函數,可取壹切實數值,也是奇函數和周期函數,其最小正周期是π[2]。

中文名

余切

外文名

Cotangent

簡寫

cot

定義

某銳角的相鄰直角邊和對邊的比

學科分類

數理科學

快速

導航

歷史發展

圖像及性質

運算關系

余切序列

定義

任意角終邊上除頂點外的任壹點的橫坐標除以該點的非零縱坐標,角的頂點與平面直角坐標系的原點重合,而該角的始邊則與正x軸重合。簡單點理解:直角三角形任意壹銳角的鄰邊和對邊的比,叫做該銳角的余切。

圖1 余切的示意圖

余切表示用“cot+角度”,如:30°的余切表示為cot 30°;角A的余切表示為cot A。舊時用ctg A來表示余切,和cot A是壹樣的。假設∠A的對邊為a、鄰邊為b,那麽cot A= b/a(即鄰邊比對邊)[1] 。

歷史發展

敘利亞天文學家、數學家阿爾巴坦尼(850-929)於920年左右,制成了自0到90度相隔1度的余切表。

14世紀中葉,成吉思汗的後裔,中亞細亞的阿魯伯(1393--1449)組織了大規模的天文觀測和數學用表的計算,他的正弦表精確到小數9位,他還制作了30到45度之間相隔為1",45到90度的相隔為5"7'的正切表。

英國數學家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁(1290-1349)首先把正切、余切引入他的三角計算之中[3] 。

圖像及性質

余切函數的函數圖像如圖2所示,其主要性質如下:

圖2余切函數圖像

(1)定義域:余切函數的定義域是;

(2)值域:余切函數的值域是實數集R,沒有最大值、最小值;

(3)周期性:余切函數是周期函數,周期是;

(4)奇偶性:余切函數是奇函數,它的圖象關於原點對稱;

(5)單調性:余切函數在每壹個開區間上都是減函數[4] 。

運算關系

和的關系

積的關系

商的關系

然後由泰勒級數得出

和角公式

余切序列

“余切序列”是蝴蝶效應的壹個典型例子。以下三個數列每壹項都是前壹項的余切,即;初值分別為1、1.00001、1.0001,但是從第10項開始,三個數列開始形成巨大的分歧。這就是混沌的數列,經過足夠多項後,得到的數字完全可以看作是隨機的,混沌的。

1

1.00001

1.0001

0.642092616

0.642078493

0.641951397

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參考資料

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學上.高等教育出版社,2007

[2] 高希堯編.數學術語詳解詞典.陜西科學技術出版社,1991:721

[3] 張雪明著.中學數學文化點要.上海社會科學院出版社,2017.08:44